Question

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C_1, A_1, B_1 соответственно. Отрезок BB_1 повторно пересекает окружность в точке K. Известно, что AB=BC=17, AC=16. Найдите BK

Answer 1

Соединим центр окружности О с точками касания.<А₁ОВ₁+<А₁СВ₁=180°<А₁ОС₁+<А₁ВС₁=180°<А₁ОВ₁=2<А₁С₁В₁<А₁ОС₁=2<А₁В₁С₁Из условия А₁В₁=А₁С₁ следует, что <А₁С₁В₁=<А₁В₁С₁=α, далее следует, что <А₁ОВ₁=<А₁ОС₁=2α, и далее, что<А₁СВ₁=180°-2α<А₁ВС₁=180°-2α<А₁СВ₁=<А₁ВС₁, и треугольник АВС - равнобедренный.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности треугольника.

По свойству вписанной окружности, касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра окружности.

Обозначим центр вписанной окружности как O. Так как окружность касается сторон треугольника в точках C₁, A₁ и B₁, то отрезки OC₁, OA₁ и OB₁ являются радиусами окружности и перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника.

Также обозначим точку пересечения отрезка BB₁ с окружностью как K.

Поскольку OC₁ и OA₁ перпендикулярны сторонам треугольника, то треугольники OAC₁ и OBC₁ являются прямоугольными.

Так как треугольник OAC₁ прямоугольный, то по теореме Пифагора:

OA² = OC₁² + AC₁² OA² = r² + (AC - r)² OA² = r² + (16 - r)²

Аналогично, для треугольника OBC₁:

OB² = r² + (BC - r)² OB² = r² + (17 - r)²

Так как OC₁ и OB₁ являются радиусами окружности, они равны между собой:

OC₁ = OB₁ r = 17 - r 2r = 17 r = 8.5

Теперь мы знаем радиус вписанной окружности - 8.5.

Для нахождения отрезка BK воспользуемся свойством касательной и хорды, проведенной через точку пересечения хорды с окружностью.

Так как BB₁ является хордой, проведенной через точку K, то BK * BK₁ = BK * BK = OK * OK₁

Так как OK и OK₁ являются радиусами окружности, они равны радиусу вписанной окружности - 8.5.

Таким образом, BK * BK = OK * OK₁ = 8.5 * 8.5 = 72.25

Ответ: BK = √72.25 = 8.5