Question

Вычислить площадь кривалинейной трапеции через интеграл. y= ѵx;y=x

Answer 1

Использована формула Ньютона-Лейбница

Answer 2

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции через интеграл, нужно знать уравнения кривых, ограничивающих трапецию. В данном случае, они заданы как y = ѵx и y = x.

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла, который выражается следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - границы интегрирования, f(x) и g(x) - функции, ограничивающие трапецию.

В данном случае, функции f(x) и g(x) равны y = ѵx и y = x соответственно.

Чтобы найти границы интегрирования a и b, нужно найти точки пересечения двух кривых. Подставив y = ѵx в уравнение y = x, получим:

ѵx = x.

Разделив обе части на x (предполагая, что x ≠ 0), получим:

ѵ = 1.

Таким образом, точка пересечения двух кривых имеет координаты (1, 1).

Теперь мы можем вычислить площадь криволинейной трапеции:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx = ∫[1, b] (ѵx - x) dx.

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1, b] (ѵx - x) dx = ∫[1, b] (ѵ - 1) x dx = (ѵ - 1) ∫[1, b] x dx.

Интеграл ∫ x dx равен (1/2)x^2. Подставим это значение:

S = (ѵ - 1) ∫[1, b] x dx = (ѵ - 1) [(1/2)x^2] [1, b] = (ѵ - 1) [(1/2)b^2 - (1/2)(1)^2].

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

S = (ѵ - 1) [(1/2)b^2 - 1/2] = (ѵ - 1) (1/2)(b^2 - 1).

Это выражение дает площадь криволинейной трапеции в зависимости от значения параметра ѵ и границы b.