Question

На катете АС прямоугольного треугольника АВС (угол С=90) выбрана точка Р так, что АР:РС=3:1. Из точки Р на гипотенузу опущен перпендикуляр. В каком отношении этот перпендикуляр делит гипотенузу (считая от точки А) если АС:ВС=2

Answer 1

Пуст точка М , есть перпендкуляр PM
AC/BC=2
AC=AP+PC
PC=x ;AP=3x
(3x+x)/BC=2
BC=2x

AB по теореме пифагора √(4x)^2+(2x)^2=√20 *x
треугольники APM и ABC подобны   ,   то
AM/4x= 3x/AB
AM=12x^2/√20*x = 12x/√20
MB=AB-AM=√20*x-12x/√20 = 4x/√5
AM/MB=6x/√5/ 4x√5 = 3/2

Answer 2

Пусть длина гипотенузы АС равна а, а длина катета АВ равна b. Тогда, согласно условию, АС:ВС = 2, значит, ВС = а/2.

Также, АР:РС = 3:1, значит, АР = 3/4 * а и РС = 1/4 * а.

Из точки Р на гипотенузу АС опущен перпендикуляр, обозначим его длину как х.

Так как треугольник АРС прямоугольный, то АС^2 = АР^2 + РС^2.

а^2 = (3/4 * а)^2 + (1/4 * а + х)^2.

Упрощаем выражение:

а^2 = (9/16 * а^2) + (1/16 * а^2 + 2х * а + х^2).

16/16 * а^2 = 10/16 * а^2 + 2х * а + х^2.

6/16 * а^2 = 2х * а + х^2.

3/8 * а^2 = х * (2а + х).

Так как х - это длина отрезка, который делит гипотенузу, считая от точки А, то отношение этого перпендикуляра к гипотенузе будет х:а.

Таким образом, перпендикуляр делит гипотенузу в отношении х:а.

Подставим значения х и а:

х:а = (3/8 * а^2) / а = 3/8 * а.

Таким образом, перпендикуляр делит гипотенузу в отношении 3:8.