Question

Доказать теорему о площади треугольника, прямоугольнлго треугольника.помогите пожалуйста. заранее спасибо.

Answer 1

Доказательства о площади треугольника есть в учебниках.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту проведенную к нему.
Высота это отрезок проведенный из вершины треугольника перпендикулярно основанию.
Так как у  прямоугольного треугольника один катет перпендикулярен второму, то он будет являться высотой.
Следовательно площадь прямоугольного треугольника равна  половине произведение его катетов.

Answer 2

Давайте рассмотрим теорему о площади прямоугольного треугольника.

Теорема: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза.

1. Построение: Проведем высоту AD из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Получится два прямоугольных треугольника: ADC и BDC.


2. Сходство треугольников: Треугольники ADC и BDC подобны по принципу углов.

Соответствующие углы равны: - Угол ADC равен углу B. - Угол BDC равен углу A (прямой угол).

Также, угол C общий.

3. Соотношение сторон: Сходство треугольников означает, что соответствующие стороны пропорциональны.

\[\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}\]

Из подобия также следует, что \(\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC}\).

4. Сложение пропорций: Поскольку \(\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{AB}\), мы можем сложить пропорции:

\[\frac{AD}{BD} + \frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC} + \frac{AC}{BC}\]

\[\frac{AD}{BD} \cdot \frac{AB}{AB} + \frac{AD}{AB} \cdot \frac{BD}{BD} = \frac{2AC}{BC}\]

\[\frac{AD \cdot AB + AD \cdot BD}{AB \cdot BD} = \frac{2AC}{BC}\]

5. Упрощение: Выразим общий множитель:

\[\frac{AD \cdot (AB + BD)}{AB \cdot BD} = \frac{2AC}{BC}\]

6. Известные отношения: Так как \(AB + BD = AB + AC = BC\), подставим это в уравнение:

\[\frac{AD \cdot BC}{AB \cdot BD} = \frac{2AC}{BC}\]

Теперь упростим:

\[AD \cdot BC = 2AC \cdot BD\]

7. Площади треугольников: Площади треугольников ADC и BDC можно выразить через соответствующие стороны:

\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BC\] \[S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC\]

Из равенства \(AD \cdot BC = 2AC \cdot BD\) следует, что:

\[S_{ADC} = S_{BDC}\]

Таким образом, площади треугольников ADC и BDC равны.

8. Площадь треугольника ABC: Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC:

\[S_{ABC} = S_{ADC} + S_{BDC}\]

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC\]

Подставим значение \(AD \cdot BC = 2AC \cdot BD\):

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2AC \cdot BD + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC\]

Упростим:

\[S_{ABC} = AC \cdot BD\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна произведению катета AC на катет BD, деленное на 2.

Таким образом, мы доказали теорему о площади прямоугольного треугольника.