Question

Высота прямоугольно треугольника разделила его на два треугольника, отношение площадей которых равно4:9. найдите тангенс меньшего из острых углов этого треугольника. Помогите, пожалуйста!!))

Answer 1

Есть треугольник АВС, где угол С = 90, СД - высота. 

S(АCД)=СД*АД/2

S(ВСД)=СД*ВД/2

Отсюда S(АCД): S(ВСД)=АД:ВД=4:9

 

 

 

 

 

Из подобия трегоульников АСД и ВСД: АД/СД=СД/ВД, тогда СД=корень из (АД*ВД)

tg CВД = СД/ВД=корень из (АД*ВД)/ВД=корень из (АД/ВД)=2:3

 

 

 

 

Answer 2

Определение задачи

У нас есть прямоугольный треугольник, высота которого разделяет его на два треугольника. Отношение площадей этих двух треугольников равно 4:9. Нам нужно найти тангенс меньшего из острых углов этого треугольника.

Решение

Давайте представим наш прямоугольный треугольник и его высоту. Пусть основание треугольника будет равно a, а высота - h.

     /|
    / |
  h/  |
  /   |
 /____|
   a

Так как высота разделяет треугольник на два, мы можем представить площади этих двух треугольников относительно полной площади треугольника.

Пусть S1 будет площадью первого треугольника, а S2 - площадью второго треугольника. Мы знаем, что отношение площадей этих треугольников равно 4:9. То есть:

S1/S2 = 4/9

Мы также знаем, что площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания и высоты. Таким образом, площадь первого треугольника будет равна:

S1 = (1/2) * a * h

Подставляя это в уравнение отношения площадей, получим:

(1/2) * a * h / S2 = 4/9

Теперь мы можем найти выражение для площади второго треугольника, S2, и затем найти его высоту.

Но прежде чем продолжить, нам необходимо установить связь между основанием треугольника и его высотой с тангенсом меньшего из острых углов.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла можно выразить как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае, если мы обозначим меньший из острых углов как θ, то тангенс этого угла можно записать как:

tan(θ) = h / (a/2)

Мы знаем, что высота треугольника равна h, а основание - a. Поскольку высота разделяет основание пополам, мы можем представить прилежащий катет как (a/2).

Теперь, когда у нас есть выражение для тангенса меньшего из острых углов, давайте продолжим решение.

Нахождение площади второго треугольника

Мы можем получить выражение для площади второго треугольника, S2, из уравнения отношения площадей:

(1/2) * a * h / S2 = 4/9

Перемножим обе стороны уравнения на S2:

(1/2) * a * h = (4/9) * S2

Теперь делим обе стороны уравнения на (1/2) * a:

h = (4/9) * S2 / ((1/2) * a)

У нас есть выражение для высоты h в терминах площади второго треугольника S2 и основания a.

Нахождение тангенса меньшего из острых углов

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты h, мы можем найти тангенс меньшего из острых углов треугольника:

tan(θ) = h / (a/2)

Подставим значение h, которое мы нашли ранее:

tan(θ) = [(4/9) * S2 / ((1/2) * a)] / (a/2)

Упростим выражение:

tan(θ) = (4/9) * S2 / a * (2/a)

Сократим a и упростим еще раз:

tan(θ) = (4/9) * S2 / 2

Теперь у нас есть выражение для тангенса меньшего из острых углов треугольника в терминах площади второго треугольника S2 и основания a.

Резюме

Мы получили выражение для тангенса меньшего из острых углов треугольника в терминах площади второго треугольника S2 и основания a:

tan(θ) = (4/9) * S2 / 2

Теперь, если у нас есть значения площади второго треугольника S2 и основания a, мы можем использовать это выражение для вычисления тангенса меньшего из острых углов треугольника.