Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45. А) Найдите высоту пирамиды. Б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Answer 1

Вроде так, а вообще было бы неплохо баллов-то накинуть за такое задание

Answer 2

Давайте обозначим параметры задачи. Пусть \( a \) - длина стороны основания квадратной пирамиды, \( l \) - длина бокового ребра, \( h \) - высота пирамиды.

Задача А: Найдите высоту пирамиды.

Из условия задачи известно, что боковое ребро равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Это создает прямоугольный треугольник со сторонами \( a/2 \), \( h \) и \( l \). По теореме тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{a/2}{h} \]

Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), у нас есть:

\[ \frac{a}{2} = h \]

Следовательно, высота пирамиды \( h = \frac{a}{2} \).

Задача Б: Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) пирамиды можно найти, используя формулу:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot \text{высота боковой грани} \]

Для квадратной пирамиды периметр основания равен \( 4a \), а высота боковой грани равна \( l \). Подставим значения:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l \]

Учитывая, что \( h = \frac{a}{2} \), мы можем выразить \( l \) через \( a \) и \( h \) с использованием теоремы Пифагора для треугольника с катетами \( h \) и \( a/2 \):

\[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Подставим это значение \( l \) в формулу для \( S_{\text{бок}} \):

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Упростим это выражение, используя то, что \( h = \frac{a}{2} \):

\[ S_{\text{бок}} = 2a \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

\[ S_{\text{бок}} = 2a \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} \]

\[ S_{\text{бок}} = 2a \sqrt{\frac{a^2}{2}} \]

\[ S_{\text{бок}} = a \sqrt{2a^2} \]

\[ S_{\text{бок}} = a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{a} \]

\[ S_{\text{бок}} = a^2 \sqrt{2a} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \( a^2 \sqrt{2a} \).