Question

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20.Радиус описанной окружности равен 26.Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции

Answer 1

Трапеция АВСД, АВ=СД, ВС=20, АД=48, О-центр описанной окружности ,
    ОА=ОВ=ОС=ОД=радиус=26, треугольник ВОС равнобедренный, проводим высоту ОК на ВС=медиане, ВК=КС=1/2ВС=20/2=10,треугольник ВКО прямоугольный, ОК=корень(ОВ в квадрате-ВК в квадрате)=корень(676-100)=24треугольник АОД равнобедренный, проводим высоту=медиане ОН на АД, АН=НД=1/2АД=48/2=24треугольник АОН прямоугольный, ОН=корень(ОА в квадрате-АН в квадрате)=корень(676-576)=10КН-высота трапеции=ОК+ОН=24+10=34

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и описанной окружности.

1. Свойства равнобедренной трапеции: - Основания равнобедренной трапеции (большие и малые основания) делят её на два равных треугольника. - Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции проходит через середину меньшего основания.

2. Описание решения: - Обозначим половину меньшего основания за \(a\) и половину большего основания за \(b\). - Также обозначим высоту трапеции за \(h\). - Используем теорему Пифагора в равнобедренных треугольниках.

3. Уравнения: - Из теоремы Пифагора для одного из равнобедренных треугольников получаем: \[a^2 + h^2 = r^2,\] где \(r\) - радиус описанной окружности. - Из условия, что основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20, получаем: \[a + b = 48.\] - Из условия, что радиус описанной окружности равен 26, получаем: \[a + b = 26.\]

4. Решение: - Решим систему уравнений. Во-первых, заметим, что из условия равнобедренности трапеции следует, что \(a = b\). - Таким образом, у нас есть два уравнения: \[2a = 48 \quad \text{и} \quad a^2 + h^2 = 26^2.\] - Решая первое уравнение, получаем \(a = 24\). Затем подставляем этот результат во второе уравнение и решаем относительно \(h\): \[24^2 + h^2 = 26^2.\] - Решая это уравнение, найдем значение \(h\).

5. Вычисления: - \(a = 24\). - \[24^2 + h^2 = 26^2.\] - \[576 + h^2 = 676.\] - \[h^2 = 676 - 576.\] - \[h^2 = 100.\] - \(h = 10\).

Таким образом, высота трапеции равна 10.