Question

1))))))))))))))Дана трапеция ABCD. Докажите, что OF = ОЕ, если точка О — точка пересечения диагоналей трапеции, а отрезок FE проходит через точку О параллельно основаниям трапеции ВС и AD. 2)))))))))))))))В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Answer 1

1. По теореме Фалеса:
ВЕ:ВА=ВО:ВD=CO:CA=CF:CD=k
Треугольники ВЕО и BAD подобны с коэффициентом подобия k ( EO || AD).
EO:AD=k  ⇒ EO=k·AD.
Треугольники COF и CAD  подобны с коэффициентом подобия k ( OF || AD).
OF=k·AD.

EO=OF=k·AD

2.
Пусть а и b - основания трапеции, a < b;
с - боковая сторона.
Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который может быть вписана окружность, равны.
a+b=c+c
По условию
Р=80
a+b+2c=80
(a+b)+(a+b)=80  ⇒  a+b=2c=40  ⇒ c=20
S=(a+b)h/2 
320=40·h/2    ⇒    h=16
Проведем из вершин верхнего основания высоты.
Высоты разбивают трапецию на  прямоугольник со сторонами а и 16 и два равных прямоугольных треугольника с катетами h=16  и (b-a)/2
По теореме Пифагора:
 ((b-a)/2)²=c²-h²=20²-16²=400-256=144=12²
(b-a)/2=12
b-a=24
a+b=40
2b=64
b=32
a=8

Треугольники ВОС и АОD подобны.
Пусть расстояние от точки О до ВС   равно х, тогда расстояние от точки О до AD равно (16-х)
Из подобия
ВС: AD=x:(16-x);
8:32=x:(16-x);
32x=128-8x;
32x+8x=128;
40x=128;
x=3,2
О т в е т. 3,2 .

Answer 2

Задача 1: Доказательство равенства OF = OE

Дана трапеция ABCD, где О - точка пересечения диагоналей, а отрезок FE проходит через точку О параллельно основаниям трапеции ВС и AD. Нам нужно доказать, что OF = OE.

Шаг 1: Обратимся к свойству трапеции, которое гласит, что сумма длин оснований трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на высоту трапеции:

AB + CD = (BC + AD) * h

Шаг 2: Рассмотрим треугольники AOB и COD, где O - точка пересечения диагоналей, а AB и CD - основания трапеции.

Шаг 3: В треугольнике AOB, проведем высоту OH, где H - точка пересечения высоты с основанием AB.

Шаг 4: В треугольнике COD, проведем высоту OI, где I - точка пересечения высоты с основанием CD.

Шаг 5: Так как трапеция ABCD - равнобедренная, то это означает, что AB = CD и BC = AD.

Шаг 6: Из шагов 3 и 4 мы знаем, что OH = OI, так как оба треугольника AOB и COD подобны.

Шаг 7: Теперь рассмотрим треугольники FOH и EOI, где F и E - точки пересечения отрезка FE с высотами OH и OI соответственно.

Шаг 8: Поскольку отрезок FE параллелен основаниям ВС и AD, то это означает, что треугольники FOH и EOI подобны.

Шаг 9: Из шага 6 мы знаем, что OH = OI, и из шага 8 мы знаем, что треугольники FOH и EOI подобны. Это означает, что отношения сторон FO и EO в треугольниках FOH и EOI равны, то есть FO/EO = FOH/EOI.

Шаг 10: Из шага 9 мы получаем, что FO/EO = FOH/EOI = OH/OI.

Шаг 11: Из предыдущих шагов мы знаем, что OH = OI, поэтому FO/EO = OH/OI = 1.

Шаг 12: Следовательно, FO = EO, что и требовалось доказать.

Задача 2: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания

Дана равнобедренная трапеция, у которой периметр равен 80 и площадь равна 320. Нам нужно найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Шаг 1: Обозначим меньшее основание трапеции через a и высоту через h.

Шаг 2: Из свойства трапеции знаем, что сумма длин оснований равна произведению полусуммы длин оснований на высоту:

a + a + 2h = 80

Шаг 3: Уравнение периметра трапеции.

2a + 2h = 80

Шаг 4: Разделим уравнение на 2:

a + h = 40

Шаг 5: Зная, что площадь трапеции равна полупроизведению суммы ее оснований на высоту, получим уравнение:

(2a * h) / 2 = 320

Шаг 6: Упростим уравнение:

ah = 320

Шаг 7: Так как a + h = 40 (из шага 4), то мы можем найти значение a:

a = 40 - h

Шаг 8: Подставим значение a в уравнение из шага 6:

(40 - h)h = 320

Шаг 9: Раскроем скобки:

40h - h^2 = 320

Шаг 10: Перенесем все в левую сторону уравнения:

h^2 - 40h + 320 = 0

Шаг 11: Решим это квадратное уравнение:

(h - 20)(h - 20) = 0

Шаг 12: h = 20

Шаг 13: Подставим значение h в уравнение из шага 4:

a + 20 = 40

Шаг 14: a = 20

Шаг 15: Так как трапеция равнобедренная, то расстояние от точки пересечения диагоналей до ее меньшего основания равно высоте, то есть h = 20.

Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания равно 20.