Question

Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как сходсвенные стороны

Answer 1

 

{Рисунок во вложении.}

 

Подобные треугольники —треугольники , у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

 

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными. Так, на рисунке стороны AB и A1B1, AC и A1C1, BC и B1C1, сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A1B1C1.

 

 

 Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

 

Углы A = A1, B = B1, C = C1 и AB/A1B1 = ВC/В1C1 = АС/А1С1 = k, где k – коэффициент подобия. И на рисунке видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

 

Answer 2

Пусть треугольник со сторонами равными a,b, и c подобен треугольнику со сторонами равными x,y, и z=>  a/x=b/y=c/z

Периметр первого равен a+b+c=a+b+az/x=(ax+bx+az)/x

Периметр второго равен x+y+z=x+bx/a+z=(ax+bx+az)/a

(Периметр первого)/(периметр второго)=(ax+bx+az)x:(ax+bx+az)a=a/x =>  у подобных треугольников периметры относятся как сходсвенные стороны

Answer 3

Для начала, давайте рассмотрим два подобных треугольника. Пусть их стороны обозначаются как a, b, c и a', b', c' соответственно.

Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны. Это означает, что отношения длин соответствующих сторон равны:

a/a' = b/b' = c/c'

Для доказательства того, что периметры треугольников также относятся как соответствующие стороны, нам необходимо доказать, что суммы длин сторон также пропорциональны.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Поэтому периметр первого треугольника равен a + b + c, а периметр второго треугольника равен a' + b' + c'.

Мы хотим доказать, что a + b + c и a' + b' + c' пропорциональны. Для этого нам нужно показать, что их отношение является константой.

Давайте найдем отношение периметров:

(a + b + c)/(a' + b' + c')

Распишем это выражение:

(a/a') + (b/b') + (c/c')

По определению подобных треугольников, a/a', b/b' и c/c' равны между собой. Поэтому мы можем заменить их на одну и ту же константу k:

(a/a') + (b/b') + (c/c') = k + k + k = 3k

Таким образом, доказано, что отношение периметров двух подобных треугольников равно 3k, где k - это константа. Это означает, что периметры треугольников также относятся как соответствующие стороны, с коэффициентом 3.