Question

В прямоугольном треугольнике с катетом 8 и гипотенузой 10 высота, опущенная из вершины прямого угла, делит его гипотенузу на два отрезка. Найдите отношение длины меньшего из отрезков к длине большего.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике АВС,  угол С =90°. АС=8, АВ=10
высота СН делит гипотенузу на отрезки АН и НВ.
По т. Пифагора найдем катет ВС:
ВС=√(10²-8²)=√36=6
Высоту СН можно найти либо через углы прямоугольного треугольника, либо сразу по формуле:
СН=АС*ВС/АВ=8*6/10=4,8
Теперь найдем отрезок АН из прямоугольного ΔАСН:
АН=√(АС²-СН²)=√(8²-4,8²)=√40,96=6,4
тогда НВ=АВ-АН=10-6,4=3,6
НВ/АН=3,6/6,4=9/16=0,5625

Answer 2

Чтобы найти отношение длины меньшего отрезка к длине большего в прямоугольном треугольнике, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Дано: Катет: a = 8 Гипотенуза: c = 10

Мы знаем, что высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим эти отрезки как x и y.

По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин соответствующих высот. Так как высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, то отношение длины меньшего отрезка к длине большего будет равно отношению соответствующих высот.

Пусть высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h.

Тогда, по теореме Пифагора, имеем: a^2 + h^2 = c^2

Подставляем известные значения: 8^2 + h^2 = 10^2 64 + h^2 = 100

Вычитаем 64 из обеих сторон: h^2 = 36

Извлекаем квадратный корень: h = 6

Теперь, чтобы найти отношение длины меньшего отрезка к длине большего, мы можем использовать соотношение высот: x/y = h1/h2

Здесь h1 - высота, опущенная на меньший отрезок, а h2 - высота, опущенная на больший отрезок.

Обозначим меньший отрезок как x и больший отрезок как y. Тогда у нас есть: x/y = h1/h2 = 6/6 = 1

Таким образом, отношение длины меньшего отрезка к длине большего в данном прямоугольном треугольнике равно 1.