Question

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, угол между диагоналями равен 60°. Найдите диагонали прямоугольника.

Answer 1

Т.к. диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, то образуется равносторонний треугольник: меньшая сторона прямоугольника, две половины диагоналей, все углы по 60°, следовательно, половины диагоналей по 5 см, вся диагональ - 10см, диагонали равны у прямоугольника.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольника и тригонометрическими функциями.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через \(a\). Так как прямоугольник, у нас есть две диагонали - это гипотенузы прямоугольных треугольников, образованных диагоналями.

1. Рассмотрим один из таких треугольников. У нас есть угол между диагоналями, равный 60°. Обозначим половину длины диагонали через \(d/2\). Тогда катеты треугольника будут \(a/2\) и \(d/2\).

2. Мы знаем, что тангенс угла треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, для нашего треугольника:

\[ \tan(60°) = \frac{a/2}{d/2} \]

Упростим это уравнение:

\[ \sqrt{3} = \frac{a}{d} \]

3. Теперь у нас есть уравнение, связывающее \(a\) и \(d\). Мы также знаем, что меньшая сторона прямоугольника равна 5 см:

\[ a = 5 \, \text{см} \]

4. Подставим значение \(a\) в уравнение:

\[ \sqrt{3} = \frac{5}{d} \]

5. Решим это уравнение относительно \(d\):

\[ d = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

Это значение диагонали. Также, чтобы найти вторую диагональ, умножим это значение на \(\sqrt{2}\) (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника):

\[ d_2 = \frac{5}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} \]

Таким образом, длины диагоналей прямоугольника будут:

\[ d_1 = \frac{5}{\sqrt{3}} \, \text{см} \]

\[ d_2 = \frac{5}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} \, \text{см} \]