Question

Дан тетраэдр ABCD. найти сумму векторов: AB+BD+DC; 2) AD+CB+DC; 3)AB+CD+BC+DA

Answer 1

В конце решения немного рассказано о том, как облегчить себе труд при сложении векторов.
Дан тетраэдр ABCD. найти сумму векторов: AB+BD+DC; 2) AD+CB+DC; 3)AB+CD+BC+DA

Answer 2

Для нахождения суммы векторов в каждом из трех случаев, давайте представим тетраэдр ABCD в трехмерном пространстве, где каждая вершина тетраэдра будет иметь свои координаты.

Пусть координаты вершин тетраэдра ABCD будут следующими: - A(x₁, y₁, z₁) - B(x₂, y₂, z₂) - C(x₃, y₃, z₃) - D(x₄, y₄, z₄)

Тогда векторы будут иметь следующие компоненты:

1. Сумма векторов AB, BD и DC: \[ \begin{align*} \mathbf{AB} & = \langle x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ \rangle \\ \mathbf{BD} & = \langle x₄ - x₂, y₄ - y₂, z₄ - z₂ \rangle \\ \mathbf{DC} & = \langle x₃ - x₄, y₃ - y₄, z₃ - z₄ \rangle \\ \end{align*} \] Теперь сложим их: \[ \mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \langle (x₂ - x₁) + (x₄ - x₂) + (x₃ - x₄), (y₂ - y₁) + (y₄ - y₂) + (y₃ - y₄), (z₂ - z₁) + (z₄ - z₂) + (z₃ - z₄) \rangle \]

2. Сумма векторов AD, CB и DC: \[ \begin{align*} \mathbf{AD} & = \langle x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁ \rangle \\ \mathbf{CB} & = \langle x₂ - x₃, y₂ - y₃, z₂ - z₃ \rangle \\ \mathbf{DC} & = \langle x₃ - x₄, y₃ - y₄, z₃ - z₄ \rangle \\ \end{align*} \] Теперь сложим их: \[ \mathbf{AD} + \mathbf{CB} + \mathbf{DC} = \langle (x₄ - x₁) + (x₂ - x₃) + (x₃ - x₄), (y₄ - y₁) + (y₂ - y₃) + (y₃ - y₄), (z₄ - z₁) + (z₂ - z₃) + (z₃ - z₄) \rangle \]

3. Сумма векторов AB, CD, BC и DA: \[ \begin{align*} \mathbf{AB} & = \langle x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ \rangle \\ \mathbf{CD} & = \langle x₃ - x₄, y₃ - y₄, z₃ - z₄ \rangle \\ \mathbf{BC} & = \langle x₃ - x₂, y₃ - y₂, z₃ - z₂ \rangle \\ \mathbf{DA} & = \langle x₁ - x₄, y₁ - y₄, z₁ - z₄ \rangle \\ \end{align*} \] Теперь сложим их: \[ \mathbf{AB} + \mathbf{CD} + \mathbf{BC} + \mathbf{DA} = \langle (x₂ - x₁) + (x₃ - x₄) + (x₃ - x₂) + (x₁ - x₄), (y₂ - y₁) + (y₃ - y₄) + (y₃ - y₂) + (y₁ - y₄), (z₂ - z₁) + (z₃ - z₄) + (z₃ - z₂) + (z₁ - z₄) \rangle \]

Это будут компоненты векторов, представляющих суммы векторов в каждом из трех случаев.