Question

Диаметр шара равен 2р. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью. Спасите

Answer 1

Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45* к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Всякое пересечение шара плоскостью есть круг. Так как плоскость проходит через конец диаметра, то одна точка образовавшегося круга принадлежит ему и диаметру.

Граница круга – окружность, проведем хорду в ней так, чтобы одна точка принадлежала концу диаметра шара, а другую так, чтобы в итоге хорда пересекала центр окружности.

Разделим диаметр шара пополам и соединим точку, являющуюся его серединой, с точкой хорды окружности, но не принадлежащей диаметру.
Образуется треугольник, две стороны которого равны, так как являются радиусами шара, это в свою очередь следует из того, что оба соединяют его центр с одной из точек поверхности шара.

Угол между основанием и одной боковой стороной, нам известен, он равен углу между плоскостью и диаметром шара – 45*.

Соответственно и второй угол при основании будет равен 45*, а третий – 90*, согласно теореме о сумме углов треугольника.

Из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике можно легко найти диагональ сечения:

a = b : cos 45*
a = b : sqrt(0,5)

b нам известен, это половина диаметра шара - его радиус.
a = m : sqrt(0,5) = sqrt(2)m

Длина окружности рассчитывается по формуле:
l = 2nR
l = (sqrt(2) * m : 2) * 2 * n
l = sqrt(2)mn

*n = Число Пи.

Answer 2

Давайте рассмотрим геометрическую ситуацию. У нас есть сфера с диаметром \(D\), а также плоскость, проходящая через её центр под углом \(45^\circ\) к диаметру.

1. Диаметр шара равен \(2r\): Это означает, что радиус сферы \(r\) равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{D}{2}\).

2. Плоскость под углом \(45^\circ\) к диаметру: Поскольку плоскость проходит через центр сферы и образует угол \(45^\circ\) с диаметром, то она делит сферу на две половины. Таким образом, эта плоскость делит сферу на две полусферы.

3. Линия пересечения сферы и плоскости: Линия пересечения будет кругом (или окружностью), и её длина будет равна длине окружности, описанной вокруг этой полусферы. Длина окружности \(C\) вычисляется по формуле: \[C = 2\pi r\]

Подставляя значение \(r = \frac{D}{2}\), получаем: \[C = \pi D\]

Таким образом, длина линии пересечения сферы и плоскости, проведенной под углом \(45^\circ\) к диаметру, равна \(\pi D\).