Question

Боковое ребро правильной треугольной призмы в 4 раза больше стороны основания, а сумма длин всех ребер равна 36.Найдите площадь полной поверхности призмы. Решите пожалуйста задачу

Answer 1

Действительно, легко...

Answer 2

Давайте обозначим сторону основания правильной треугольной призмы через \( a \). Тогда боковое ребро этой призмы будет равно \( 4a \), так как оно в 4 раза больше стороны основания.

Сумма длин всех рёбер равна 36, что можно записать уравнением:

\[ a + 4a + a + 4a + a + 4a = 36 \]

Упростим это уравнение:

\[ 15a = 36 \]

Теперь найдем значение \( a \):

\[ a = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \]

Теперь мы знаем, что сторона основания \( a = \frac{12}{5} \), и боковое ребро \( 4a = 4 \times \frac{12}{5} = \frac{48}{5} \).

Теперь можем найти высоту треугольной призмы. Поскольку у нас треугольная призма, высота будет приведена к высоте равнобедренного треугольника. Для равнобедренного треугольника с основанием \( a \) и боковыми сторонами \( \frac{48}{5} \), можно использовать теорему Пифагора:

\[ h = \sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

\[ h = \sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^2 - \left(\frac{12}{5}\right)^2} \]

\[ h = \sqrt{\frac{2304}{25} - \frac{144}{25}} \]

\[ h = \sqrt{\frac{2160}{25}} \]

\[ h = \frac{12\sqrt{15}}{5} \]

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей всех боковых сторон, а площадь основания умножается на 2, так как у нас равнобедренный треугольник:

\[ S_{\text{бок}} = 3 \times \frac{1}{2} \times a \times h \] \[ S_{\text{осн}} = 2 \times \frac{1}{2} \times a \times \frac{48}{5} \]

Теперь сложим все эти площади:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{полн}} = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} \times \frac{12\sqrt{15}}{5} + 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} \times \frac{48}{5} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{216\sqrt{15}}{5} + \frac{576}{5} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{216\sqrt{15} + 576}{5} \]

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна \( \frac{216\sqrt{15} + 576}{5} \).