Question

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найти:1) высоту пирамиды2) угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания3) угол между боковой гранью и плоскостью основания

Answer 1

В основании квадрат, диагональ квадрата d=12√2 см, d/2=6√2 cм-проекция ребра.

Высота пирамиды h =√10²-(6√2)²=√100-72=√28=2√7 см

Угол между ребром и основанием α, sinα=(2√7)/10=(√7)/5≈ 0.53

α=arcsin0,53=32°

Угол между боковой гранью и основанием β, tgβ=h/(a/2)=(2√7)/6=(√7)/3≈ 0,88

β=arctg0,88=41,3°

Answer 2

Давайте рассмотрим данную четырехугольную пирамиду. Пусть ABCD - её основание, где AB = BC = CD = DA = 12 см, а E - вершина пирамиды. Пусть EF - боковое ребро, где EF = 10 см.

1) Высота пирамиды (h):

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABE:

\[ h^2 + (\frac{1}{2} \cdot EF)^2 = AB^2 \]

\[ h^2 + 5^2 = 12^2 \]

\[ h^2 + 25 = 144 \]

\[ h^2 = 119 \]

\[ h = \sqrt{119} \approx 10.91 \, \text{см} \]

Таким образом, высота пирамиды примерно равна 10.91 см.

2) Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α):

В треугольнике ABE, мы можем использовать тангенс угла α:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{1}{2} EF} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{119}}{5} \]

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{119}}{5}\right) \approx 62.76^\circ \]

Таким образом, угол α примерно равен 62.76 градусов.

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания (β):

Этот угол равен углу между боковым ребром и горизонтальной проекцией этого ребра на плоскость основания. Мы можем использовать косинус угла:

\[ \cos(\beta) = \frac{\frac{1}{2} EF}{AB} \]

\[ \cos(\beta) = \frac{5}{12} \]

\[ \beta = \arccos\left(\frac{5}{12}\right) \approx 63.43^\circ \]

Таким образом, угол β примерно равен 63.43 градусов.

Итак, ответы: 1) Высота пирамиды: примерно 10.91 см. 2) Угол α: примерно 62.76 градусов. 3) Угол β: примерно 63.43 градусов.

Answer 3

1) Для нахождения высоты пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Поскольку сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см, то мы можем разделить пирамиду на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 см и одним катетом 6 см (половина стороны основания). Второй катет будет высотой пирамиды. Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту:

высота^2 = 10^2 - 6^2 высота^2 = 100 - 36 высота^2 = 64 высота = √64 высота = 8 см

Таким образом, высота пирамиды равна 8 см.

2) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания, можно найти, используя тангенс этого угла. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае противолежащим катетом является высота пирамиды, равная 8 см, а прилежащим катетом является половина стороны основания, равная 6 см.

тангенс угла = противолежащий катет / прилежащий катет тангенс угла = 8 / 6 тангенс угла = 4 / 3

Чтобы найти угол, мы можем использовать обратную функцию тангенса (арктангенс). Таким образом, угол равен арктангенсу отношения 4/3:

угол = арктангенс(4/3) угол ≈ 53.13°

Таким образом, угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания, примерно равен 53.13°.

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания в правильной четырехугольной пирамиде всегда равен 90°. Это свойство является особенностью правильной пирамиды, в которой боковые грани перпендикулярны плоскости основания.