Question

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке М, а биссектриса угла D в точке К. Найти периметр треугольника PMK, где P- точка пересечения этих биссектрис, если ВМ=5 и МК=4.

Answer 1

Поскольку в условии задачи не указано, что точка пересечения биссектрис находится вне прямоугольника, у задачи есть и второе решение. 

Так как по свойству углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, накрестлежащие углы равны, треугольник КРМ - равнобедренный и прямоугольный. 

Отсюда КМ=КР√2

КР=4:√2=2√2

КР=РМ

Периметр треугольника КМР равен КМ+2КР=4+2*2√2=4(1+√2)

Answer 2

Решение оформлено во вложении...

Answer 3

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами биссектрис треугольника.

Из условия задачи известно, что BM = CM = 5 и DM = DK = 4.

Пусть точка пересечения биссектрис А и D обозначена как P.

Тогда, из свойств биссектрис треугольника, мы можем сказать, что BP/BM = DP/DM.

Подставляя известные значения, получаем BP/5 = DP/4.

Умножаем обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от знаменателей: 20BP = 25DP.

Так как BP + DP = BD, то 20BP + 20DP = 20BD.

Подставляем значения BM и DM: 20BP + 20DP = 20(BM + DM) = 20(5 + 4) = 20 * 9 = 180.

Таким образом, получаем 20BP + 20DP = 180.

Разделим это уравнение на 20: BP + DP = 9.

Мы знаем, что BP + DP = BD, поэтому BD = 9.

Теперь мы можем найти периметр треугольника PMK.

Периметр треугольника PMK равен PM + MK + KP.

Так как P - точка пересечения биссектрис, то PM = PK.

Также известно, что BM = CM = 5 и DM = DK = 4.

Тогда PM = PK = BM + DM = 5 + 4 = 9.

Итак, периметр треугольника PMK равен 9 + 4 + 9 = 22.