Question

Докажите, что касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягивающую этой хоpдой, на две равные дуги.2. Постройте точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.

Answer 1

1. Центральные углы АОЕ и ВОЕ, опирающиеся на дуги АЕ и ВЕ, соответственно, равны их градусным мерам.
Рассмотрим треуг-ик АОВ. Он равнобедренный, т.к. АО и ВО - радиусы окружности. Отрезок ОЕ перпендикулярен КМ, т.к. КМ - касательная (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания Е). Значит, ОЕ перпендикулярен и хорде АВ (если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых КМ, то она перпендикулярна и к другой АВ. Прямые АВ и КМ параллельны по условию). Тогда ОЕ - высота равнобедренного треуг-ка АОВ. Пользуемся свойством равнобедренного треуг-ка о том, что высота его, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Значит
<AOE=<BOE
Следовательно, дуги АЕ и ВЕ, на которые опираются эти углы, также равны между собой: АЕ=ВЕ

2. Пользуемся свойством биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Строим биссектрису угла ВАС, на ее пересечении с катетом  ВС ставим точку Е. Помним о том, что расстояние от точки Е до прямой - длина перпендикуляра от этой точки до прямой. Перпендикуляр СЕ уже есть (угол С прямой по условию), строим перпендикуляр ЕС1. ЕС=ЕС1

Answer 2

Прежде чем начать, уточним некоторые термины:

1. Касательная: Прямая, которая касается кривой в одной точке и не пересекает ее в этой точке.

2. Хорда: Сегмент прямой линии, соединяющий две точки на кривой.

Теперь рассмотрим круг и касательную к нему.

Доказательство для круга:

Предположим, у нас есть круг с центром в точке \(O\), и на этом круге есть хорда \(AB\), а касательная в точке \(T\).

Докажем, что касательная делит дугу \(AB\) на две равные дуги.

Шаг 1:

На рисунке ниже, пусть \(OT\) - касательная, а \(AB\) - хорда.


Шаг 2:

Проведем радиус \(OA\) и \(OB\) к точкам касания \(OT\). Обозначим точки касания как \(M\) и \(N\).


Шаг 3:

Так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, угол \(OTM\) и \(OTN\) прямые углы.

Шаг 4:

Треугольники \(OTM\) и \(OTN\) подобны по стороне-угол-стороне.

Шаг 5:

Отсюда следует, что угол \(OMT\) равен углу \(ONT\).

Шаг 6:

Таким образом, дуги \(AM\) и \(BN\) симметричны относительно хорды \(AB\).

Шаг 7:

Поскольку дуги \(AM\) и \(BN\) равны, а дуги \(ABM\) и \(ABN\) образованы этими дугами, то дуги \(ABM\) и \(ABN\) также равны.

Таким образом, мы доказали, что касательная, параллельная хорде, делит дугу, стягивающую хорду, на две равные дуги.

Постройте точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол при вершине \(C\) прямой. Точка \(D\) на катете \(AB\) такова, что \(CD\) равноудалено от гипотенузы \(BC\) и катета \(AC\).

Шаг 1:

Постройте прямоугольный треугольник \(ABC\) с известными катетами \(AC\) и \(BC\).

Шаг 2:

Постройте перпендикуляр к гипотенузе \(BC\) в точке \(C\). Обозначьте точку пересечения с \(AB\) как \(D\).

Шаг 3:

Точка \(D\) будет равноудалена от гипотенузы \(BC\) и катета \(AC\).

Таким образом, мы построили точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.