Question

К двум окружностям центров О и Oi, касающимся извне в точке А, проведена общая внешняя касательная ВС( В и С - точки касания); доказать, что угол ВАС есть прямой

Answer 1

проводим через точку А общую касательную АК (не важно, как далеко К, пусть она на ВС, для ясности). Нм надо найти сумму углов ОАК и О1АК.

Угол ВАК измеряется половиной дуги АВ окружности с центром О, а угол САК измеряется половиной дуги АС окружности с центром О1 - это углы между касательной АК и секущими АВ и АС (в разных окружностях, конечно).

Центральные углы этих дуг (углы ВОА и СО1А) - это не прямые углы при основаниях в прямоугольной трапеции ОО1СВ. Поэтому сумма их равна 180 градусам (ну, как там это называется, внутренние односторонние углы при параллельных, вроде, ясно, что ОВ II О1С).

Поэтому сумма  углов ВАК и САК = 180/2 = 90. чтд.

Answer 2

Пусть окружности с центрами O и Oi касаются извне в точке A. Обозначим точки касания общей внешней касательной ВС с окружностями как В и С.

Так как АВ и АС - касательные, то они перпендикулярны радиусам, проведенным из точки касания. Это означает, что ∠АВО и ∠АСО прямые углы.

Также, поскольку окружности касаются извне в точке А, то радиусы ОА и ОiА перпендикулярны к общей внешней касательной ВС. Таким образом, ∠ОАВ и ∠ОiАС также являются прямыми углами.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. Угол ВАС - это внешний угол треугольника АВС, образованный продолжением стороны АС и стороной АВ. Согласно теореме обо внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Таким образом, ∠ВАС = ∠АВО + ∠ОАС + ∠ОАВ + ∠ОiАС.

По доказанному ранее, ∠АВО, ∠АСО, ∠ОАВ и ∠ОiАС являются прямыми углами. Поэтому ∠ВАС = 90° + 90° + 90° + 90° = 360°.

Таким образом, угол ВАС является прямым углом.