Question

Окружности с радиусами, равными 4 см и 1 см, внутренне касаются. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности, и прямая АВ образует с общей касательной в окружности угол 60°. Найдите АВ.

Answer 1

Координаты точек А и В найдём из решения системы, первое уравнение которой - уравнение окружности с радиусом 4, а второе - уравнение касательной к окружности радиусом 1.

Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс.
Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0).
Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол  в 60°, то к оси Ох угол будет -30°.
Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3.
Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в:
Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3.
Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3.
Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16.
Используем подстановку:
(x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16.
x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0.
4x² + 30x + 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А).
Определяем координаты точек по оси Оу:
у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513.
у₂ =  (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326.
По координатам находим длину хорды АВ:
                Точка А                                   Точка В
        Ха                 Уа                   Хв                          Ув
-7,186932       2,417326          -0,313068                -1,551301
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.

Answer 2

Давайте обозначим центры большей и меньшей окружностей через O1 и O2 соответственно, радиусы через r1 и r2, а длину хорды AB через AB.

Исходные данные: - Радиус большей окружности: \(r_1 = 4\) см, - Радиус меньшей окружности: \(r_2 = 1\) см, - Угол между хордой и общей касательной: \(60^\circ\).

Теперь, у нас есть несколько фактов, которые можно использовать для нахождения AB.

1. Треугольник O1AO2: - Сегмент OA образует прямой угол между касательной и радиусом (по свойству касательной), - Также, у нас есть угол между OA и OB равный \(60^\circ\). - Следовательно, у нас есть прямоугольный треугольник O1AO2.

2. Касательные к окружности: - Точка касания большей окружности с хордой образует равнобедренный треугольник со смежным углом \(60^\circ\). - Точка касания меньшей окружности с хордой образует равнобедренный треугольник со смежным углом \(60^\circ\).

Итак, давайте используем эти свойства для нахождения длины AB.

1. Треугольник O1AO2: - Так как O1AO2 - прямоугольный треугольник, то можно использовать тригонометрические функции. - \(\tan(60^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{OA}\), где OA - гипотенуза треугольника O1AO2. - Из свойства прямоугольного треугольника: \(OA = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}\).

Теперь, подставим значения: \(\tan(60^\circ) = \frac{4 - 1}{\sqrt{4^2 + 1^2}}\). Решив уравнение, получаем значение OA.

2. Касательные к окружности: - Обозначим точку касания большей окружности с хордой через C, а точку касания меньшей - через D. - Так как у нас равнобедренные треугольники, то можно использовать теорему о косинусах для нахождения длины хорды AB в каждом из треугольников OCD и BCO. - В каждом из этих треугольников у нас есть два известных ребра (радиус и отрезок до точки касания).

Найденные значения OA, OC и OD позволяют нам выразить длину хорды AB: \(AB = 2 \times OC + OD\).

Это даст вам значение длины хорды AB.