Question

В прямоугольном треугольнике abc с прямым углом с проведена биссектриса ак .докажите что расстояние от точки К до прямой АB равно отрезку CK

Answer 1

ΔСАК=ΔАКР, так как ∠САК=∠КАР (АК-биссектриса по условию), гипотенуза АК-общая. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны⇒СК=КР

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

Пусть точка D - точка пересечения биссектрисы AK с прямой AB.

Так как AK - биссектриса угла A, то отрезок CK делит сторону AB на две равные части, то есть AC = CB.

Треугольники ACK и BCK имеют общую сторону CK и равные углы CAB и CBA (так как AK - биссектриса). Также, по условию, у этих треугольников равны стороны AC и BC.

Из этих равенств следует, что треугольники ACK и BCK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, они равны в целом.

Тогда, по свойству равенства треугольников, соответствующие отрезки равны. То есть, AK = BK.

Таким образом, точка K находится на серединном перпендикуляре к отрезку AB, проходящем через точку C. Значит, расстояние от точки K до прямой AB равно отрезку CK.