Question

В треугольнике АВС точка О-точка пересечения медиан, а=АВ и b=AC, AO=k(a+b). Найдите число k. (векторы) Помогите пожалуйста)

Answer 1

Решение смотри во вложении
k=1/3

Answer 2

Давайте разберем эту задачу.

Пусть \( \vec{OA} \) - это вектор, начинающийся в точке \( O \) и заканчивающийся в точке \( A \), \( \vec{OB} \) - вектор от \( O \) до \( B \), \( \vec{OC} \) - вектор от \( O \) до \( C \).

Так как \( O \) - точка пересечения медиан треугольника \( ABC \), то \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) и \( \vec{OC} \) являются медианами, которые делят соответственные стороны пополам. Значит, мы можем записать:

\[ \vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \] \[ \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \] \[ \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \]

Теперь мы знаем, что \( \vec{AB} = -\vec{BA} \) (вектор, обратный к \( \vec{BA} \)), \( \vec{AC} = -\vec{CA} \) и \( \vec{BC} = -\vec{CB} \), так как треугольник имеет противоположные стороны одинаковой длины.

Таким образом, можно переписать уравнения медиан следующим образом:

\[ \vec{OA} = \frac{1}{2}(-\vec{BA} - \vec{CA}) \] \[ \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{BA} - \vec{CB}) \] \[ \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \]

Теперь, у нас дано, что \( \vec{AO} = k(\vec{AB} + \vec{AC}) \). Подставим известные значения:

\[ \vec{AO} = k(-\vec{BA} - \vec{CA}) \]

Сравнивая это с уравнением для \( \vec{OA} \), мы видим, что \( \vec{AO} = -2k\vec{OA} \).

Так как \( \vec{AO} = -2k\vec{OA} \), это означает, что вектор \( \vec{AO} \) является обратным к \( \vec{OA} \) и имеет удвоенную длину.

Теперь сравним длины векторов \( \vec{AO} \) и \( \vec{OA} \):

\[ |\vec{AO}| = k(a + b) \] \[ |\vec{OA}| = \frac{1}{2}|\vec{AB} + \vec{AC}| = \frac{1}{2}|-\vec{BA} - \vec{CA}| = \frac{1}{2}|-\vec{BC}| = \frac{1}{2}b \]

Из условия задачи \( |\vec{AO}| = -2|\vec{OA}| \), поэтому:

\[ k(a + b) = -2 \cdot \frac{1}{2}b \] \[ k(a + b) = -b \] \[ k = \frac{-b}{a + b} \]

Таким образом, \( k = \frac{-b}{a + b} \).