Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30 °. Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

Answer 1

Вот) Помогаю. если что пишите

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды.

Пусть \( s \) - длина бокового ребра пирамиды, \( h \) - высота боковой грани, \( a \) - длина стороны основания пирамиды.

Мы знаем, что боковое ребро равно 4 см, и угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30°.

Так как у нас правильная пирамида, боковая грань является равнобедренным треугольником, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты \( h \).

У нас есть правильный треугольник с углом 30°, поэтому можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для тангенса:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{s}{2}} \]

Отсюда найдем высоту \( h \):

\[ h = \frac{s}{2} \cdot \tan(30^\circ) \]

\[ h = \frac{4}{2} \cdot \tan(30^\circ) \]

\[ h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания \( P \) на ее высоту \( h \):

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h \]

Для правильной четырехугольной пирамиды с основанием в виде квадрата, периметр основания равен \( P = 4a \).

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ S_{\text{бок}} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot a \]

\[ S_{\text{бок}} = \frac{2}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \]

Теперь найдем объем пирамиды. Объем правильной пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды с квадратным основанием:

\[ S_{\text{осн}} = a^2 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ V = \frac{2}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) равна \( \frac{2}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \), а объем \( V \) равен \( \frac{2}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \).