Question

Помогите пожалуйста у равнобедренной трапеции, основания которой равны 16 и 36 см. Она вписана в окружность. найди длину бёдер и ее площадь.

Answer 1

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих сторон равны.
AB = CD =  (16 + 36)/2 = 26 см
AH = KD = (AD - BC)/2 = (36 - 16)/2 = 10(см)
ΔABH: ∠H = 90°, по теореме Пифагора BH = √(AB² - AH²) = √(676 - 100) =
= √576 = 24 (см)
Sabcd = 1/2 · (AD + BC) · BH = 1/2 · 52 · 24 = 624 (см²)

Answer 2

Для начала определим основные свойства равнобедренной трапеции, вписанной в окружность.

Равнобедренная трапеция имеет две пары равных сторон. Также известно, что если трапеция вписана в окружность, то сумма противоположных углов трапеции равна 180 градусам. В этой трапеции два угла между основаниями будут равными, так как они стягивают одну и ту же дугу окружности. Поэтому, если \(a\) и \(b\) — основания трапеции, а \(c\) и \(d\) — боковые стороны, то:

1. \(a = b = 16\) см (основания трапеции). 2. \(c = d\) (боковые стороны равнобедренной трапеции).

Для нахождения длины боковых сторон можно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность.

По теореме о касательных: если из точки вне окружности провести касательные к окружности, то длины отрезков от точки до точек касания будут равны.

Таким образом, длины боковых сторон трапеции равны радиусу окружности. Найдем радиус окружности.

Для этого воспользуемся свойством равнобедренной трапеции: диагонали равнобедренной трапеции равны и являются диаметрами окружности, в которую вписана трапеция.

Полусумма оснований равнобедренной трапеции равна радиусу вписанной окружности. Полусумма оснований \(a\) и \(b\) равна \( \frac{a + b}{2} = \frac{16 + 36}{2} = 26\) см.

Таким образом, радиус окружности, в которую вписана трапеция, равен 26 см.

Теперь, так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны радиусу окружности, то \(c = d = 26\) см.

Теперь, чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции, можно использовать теорему Пифагора, применённую к прямоугольному треугольнику, образованному половиной разности оснований и высотой трапеции:

\[ h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2}, \]

где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Подставим значения:

\[ h = \sqrt{26^2 - \left(\frac{36 - 16}{2}\right)^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \ \text{см}.\]

Теперь, найдем площадь:

\[ S = \frac{(16 + 36) \cdot 24}{2} = \frac{52 \cdot 24}{2} = 624 \ \text{см}^2.\]

Итак, длина боковых сторон трапеции равна 26 см, а площадь равнобедренной трапеции составляет 624 квадратных сантиметра.