Question

Найдите длину медианы треугольника ABC если A( 1;2;3 )B(6 ;3;6 )(- 2;5;2)

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника:
A( 1; 2; 3 ), B(6; 3; 6 ), С(- 2; 5; 2).
Находим координаты середин сторон треугольника::
 - точка А1 (середина ВС): ((6-2)/2=2; (3+5)/2=4; (6+2)/2=4) = (2; 4; 4).
 - точка В1 (середина АС): ((1-2)/2=-0,5; (2+5)/2=3,5; (3+2)/2=2,5 = (-0,5; 3,5; 2,5).
 - точка С1 (середина АВ): (1+6)/2=3,5; (2+3)/2=2,5; (3+6)/2=4,5) = (3,5; 2,5; 4,5).
Теперь находим длины медиан:
|АА1| = √((2-1)² + (4-2)² + (4-3)²) = √(1 + 4 + 1) = √6 ≈  2,44949.
|ВВ1| = √((-0,5-6)² +(3,5-3)² + (2,5-6)²) =√( 42,25 + 0,25 + 12,25) = √54,75 ≈ 7,399324. 
|CC1| = √((3,5-(-2))² + (2,5-5)² + (4,5-2)²) = √(30,25 + 6,25 + 6,25) = √42,75 ≈ 6,53834.

Answer 2

Для нахождения длины медианы треугольника ABC, давайте следовать шаг за шагом.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, если \(A(1, 2, 3)\), \(B(6, 3, 6)\), и \(C(-2, 5, 2)\), мы можем найти середины сторон треугольника.

1. Найдем середину стороны AB: \[ M_{AB} = \left(\frac{1+6}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+6}{2}\right) = (3.5, 2.5, 4.5) \]

2. Теперь найдем середину стороны BC: \[ M_{BC} = \left(\frac{6+(-2)}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = (2, 4, 4) \]

3. И, наконец, найдем середину стороны CA: \[ M_{CA} = \left(\frac{(-2)+1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = (-0.5, 3.5, 2.5) \]

Теперь у нас есть три точки: \(A(1, 2, 3)\), \(B(6, 3, 6)\), и \(C(-2, 5, 2)\), а также три середины сторон: \(M_{AB}(3.5, 2.5, 4.5)\), \(M_{BC}(2, 4, 4)\), и \(M_{CA}(-0.5, 3.5, 2.5)\).

Теперь найдем длину медианы, например, медианы из вершины A. Это отрезок \(AM_A\), где \(M_A\) - середина стороны BC.

Длина медианы \(AM_A\) может быть найдена с использованием формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

В данном случае \(A(1, 2, 3)\) и \(M_A(2, 4, 4)\), поэтому:

\[ d_{AM_A} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Таким образом, длина медианы треугольника ABC из вершины A равна \(\sqrt{6}\).