Question

1. Отрезки ЕF и РQ пересекаются в их середине М. Докажите ,что РЕ||QF . 2. Отрезок DМ- биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DЕ в точке N. Найдите углы треугольника DМN, если <СDЕ=68˚.

Answer 1

1.Треугольники EMP и QMF равны. Из равенства треугольников получишь равенство накрест лежащих углов PEM и MFQ отсюда получишь параллельность
EP и QF
2. CD и MN параллельны по условию,следовательно угол CDE равен углу MNE(соответств) равен 68
угол DNM=180-68=112
угол MDN=1/2 угла CDE=34
DMN=180-34-112=

Answer 2

1. Доказательство РЕ||QF: Пусть \( M \) - середина отрезка \( EF \). Тогда по определению середины, \( EM = MF \) и \( EQ = QF \).

Рассмотрим треугольники \( ERM \) и \( FRQ \). У них равны соответственные стороны, поскольку \( EM = MF \) и \( EQ = QF \). Также у них равны углы при вершине \( M \), так как отрезки \( EF \) и \( RQ \) пересекаются в точке \( М \).

Из условия у нас есть две пары равных углов и одна пара равных сторон у треугольников \( ERM \) и \( FRQ \). По признаку подобия треугольников углы между соответственными сторонами также равны. Таким образом, у нас есть две пары параллельных сторон: \( RE \parallel QF \).

2. Найдем углы треугольника DМN: Так как отрезок \( DM \) является биссектрисой угла \( CDE \), мы можем использовать теорему о биссектрисе, которая гласит, что отрезок, делящий угол на две равные части, делит противоположную сторону в отношении длин других двух сторон треугольника.

Пусть \( \angle CDE = 68^\circ \), тогда \( \angle DME = \frac{1}{2} \cdot \angle CDE = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ \).

Также, так как прямая \( MN \) параллельна стороне \( CD \), то у нас есть соответственные углы:

\( \angle DMN = \angle CDE = 68^\circ \) (по условию).

Теперь мы можем найти третий угол треугольника \( DMN \):

\( \angle DNM = 180^\circ - \angle DMN - \angle DME = 180^\circ - 68^\circ - 34^\circ = 78^\circ \).

Таким образом, углы треугольника \( DMN \) равны: \( \angle DMN = 68^\circ, \angle DNM = 78^\circ, \angle DME = 34^\circ \).