Question

Помогите пожалуйста кто знает Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах

Answer 1

Вертикальные углы равны. Дано: ∠1 и ∠4 - вертикальные ∠1 и ∠2 - смежные ∠2 и ∠4 - смежные Доказать: ∠1=∠4 Доказательство: ∠1+∠2=180° (по свойству смежных углов) ⇒ ∠1=180°-∠2 ∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов ⇒ ∠4=180°-∠2 ∠4=180°-∠2=∠1 ч. т. д

Answer 2

Теорема о вертикальных углах утверждает, что если две прямые пересекаются, то смежные углы, образованные этим пересечением, равны между собой.

Доказательство этой теоремы основано на свойствах параллельных прямых и углов. Рассмотрим две пересекающиеся прямые AB и CD, а также два смежных угла ∠ABC и ∠BCD, образованных этим пересечением.

1. Предположим, что AB и CD – параллельные прямые. В этом случае углы ∠ABC и ∠BCD будут вертикальными углами. По свойству вертикальных углов они равны между собой.

2. Рассмотрим случай, когда AB и CD не являются параллельными. Проведем прямую EF, перпендикулярную AB и CD в точках B и C соответственно. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник BCE.

3. Заметим, что угол ∠BCD является внутренним углом треугольника BCE, а угол ∠ABC – внешним углом этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. То есть ∠ABC = ∠BCE + ∠BCD.

4. Также заметим, что угол ∠BCE является внутренним углом треугольника BCE, а угол ∠BCD – внутренним углом треугольника BCD. По свойству смежных углов в треугольнике, сумма внутренних углов равна 180 градусов. То есть ∠BCE + ∠BCD = 180°.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠ABC = ∠BCE + ∠BCD = 180°. Таким образом, угол ∠ABC является прямым углом.

6. Из пункта 5 следует, что ∠ABC и ∠BCD являются смежными углами, образованными пересечением AB и CD. Так как ∠ABC является прямым углом, то по определению прямого угла ∠ABC = 90°.

7. Из пунктов 1 и 6 следует, что ∠ABC = ∠BCD = 90°. То есть смежные углы, образованные пересечением двух прямых, равны между собой.

Таким образом, теорема о вертикальных углах доказана.