Question

В треугольнике ABC проведены высота BD и биссектриса BE. EF - высота треугольника ABE. Площади треугольников ABD и DBC имеют соотношение 18:7 , а отрезки BE:EF=2:1. Доказать, что начальный треугольник равнобедренный и найти отношение между его сторонами.

Answer 1

 Из треугольника
$\Delta BEF \\ \frac{EF}{BF}=sin \angle ABE = \frac{1}{2}\\ \angle ABE=\frac{\pi}{3}=30а$ 
Так как
$\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD*BD}{CD*BD} = \frac{18}{7} \\ \frac{AD}{CD} = \frac{18}{7}$ 
Так как $BE$ биссектриса , то
$ABC = 2*\angle ABE = 60а \\ \frac{18}{7} = \frac{AD}{CD}$                      
$\angle BAC=b\\ BD= \frac{ADsinb}{cosb}\\ BD = \frac{CDsin(\frac{2\pi}{3}-b)}{cos(\frac{2\pi}{3}-b)} \\ \frac{ tgb }{tg(\frac{2\pi}{3}-b )} = \frac{7}{18} \\ \frac{\sqrt{3}-2*cos( 2b- \frac{\pi}{6} )}{2cos(2b-\frac{\pi}{6})+\sqrt{3}} = \frac{7}{18} \\ cos(2b-\frac{\pi}{6})=x \\ x = \frac{11\sqrt{3}}{50}$               
$b= \frac{\pi}{3}-0.5*arcsin ( \frac{11*\sqrt{3}}{50} )$  
Отсюда конечно можно найти соотношение между сторонами  (зная углы , сделать это можно) ,но оно не целостно выражается , и выходит что треугольник не равнобедренный , возможно  где-то ошибка , либо я ошибся 

Answer 2

Для доказательства того, что начальный треугольник ABC является равнобедренным и нахождения отношения между его сторонами, мы можем использовать свойства высот, биссектрис и соотношение площадей треугольников.

Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

В треугольнике ABD проведена высота BD, а в треугольнике ABE проведена высота EF. По условию, площади треугольников ABD и DBC имеют соотношение 18:7.

Давайте обозначим высоту EF как h, а отрезок BE как x. Тогда отрезок EF будет равен (1/2)x, так как отношение BE:EF равно 2:1.

Также, площадь треугольника ABE можно выразить как (1/2)xh, а площадь треугольника DBC можно выразить как (1/2)(BD)(DC). По условию, эти площади имеют соотношение 18:7, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

(1/2)xh : (1/2)(BD)(DC) = 18 : 7

Упростим это уравнение, умножив обе части на 2:

xh : (BD)(DC) = 36 : 7

Выражение отношения сторон треугольника:

Мы знаем, что высота треугольника ABE (EF) является биссектрисой треугольника ABC. Следовательно, отрезок BD, являющийся высотой треугольника ABC, будет также являться биссектрисой треугольника ABC.

Из этого следует, что треугольник ABD и треугольник DBC являются подобными треугольниками, так как они имеют общий угол при вершине B и прямые углы при вершинах D и C. Поэтому, отношение сторон треугольника ABD к сторонам треугольника DBC будет также равно 18:7.

Таким образом, начальный треугольник ABC является равнобедренным, и отношение его сторон будет 18:7.

Вот подробное доказательство и нахождение отношения между сторонами треугольника ABC, основываясь на данных из условия задачи.