Question

Abc равностороннего треугольника AC, AB MC/MA=NA/NB=2 взяты точки M,N. BM и CN пересекаются в точке P. Докажите APC=90 градус

Answer 1

На координатной плоскости взят треугольник с вершинами
A(0, 0) B(3√3/2, 3/2) C(3, 0) это равносторонний треугольник со стороной 3.
Точки M(1, 0) N(√3, 1); удовлетворяют условию.
Прямая BM имеет уравнение y = 3√3(x - 1)
(Я не буду объяснять, как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют обе точки, в данном случае y = 0 при x = 1 и y = 3√3/2 при x = 3/2;)
Прямая CN имеет уравнение y = (√3/2)(3 - x); (при x = 1 y = √3)
Точка пересечения этих прямых P(p,q) находится так
√3(3 - p)/2 = 3√3(p - 1); p = 9/7; q = 6√3/7; q/p = 2/√3;
Поскольку тангенсы угла наклона прямых AP 2/√3 и CN -√3/2 при умножении друг на друга дают -1, прямые эти взаимно перпендикулярны.

Answer 2

Дано, что треугольник ABC является равносторонним, то есть все его стороны и углы равны. Пусть точки M и N взяты так, что отношение длин отрезков MC/MA = NA/NB = 2.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60 градусов. Мы хотим доказать, что угол APC равен 90 градусов.

Рассмотрим треугольники BPC и BMA. Они имеют общую сторону BM и соответствующие стороны CN и AM параллельны, так как отношение их длин равно 2. Поэтому треугольники BPC и BMA подобны.

Из подобия треугольников BPC и BMA следует, что отношение длин отрезков BP/BA = PC/MA = BC/BM. Так как треугольник ABC равносторонний, то BC = BA, а значит, отношение длин BP/BA = PC/MA = 1.

По теореме о трех пропорциональных отрезках, если отношение длин BP/BA = PC/MA = 1, то отрезки BP и PC равны. То есть точка P является серединой отрезка BC.

Таким образом, мы доказали, что треугольник BPC является прямоугольным, так как угол BPC равен 90 градусов (точка P является серединой гипотенузы BC).

Так как угол BPC равен 90 градусов, то угол APC, являющийся вертикальным углом для угла BPC, также равен 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что угол APC равен 90 градусов.