Question

Помогите решить задачу!!! Срочно!!! В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN,причём угол NKP острый.Докажите,что KP меньше MP.

Answer 1

 Дано и рисунок, надеюсь, запишешь сам(а).

Доказательство:

1) угол NKP - острый =>  угол MKP - тупой 

2) Рассмотрим треугольник MKP:

 MKP - тупой угол (это  мы доказали ранее)

угол KMP - острый

угол MPK - острый    

из этого следует, что против большего угла лежит большая сторона (следствие)

=> КР < МР.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов.

Обозначим угол NKP как α, а стороны треугольника MNP как MP = a, NP = b и MN = c.

По теореме синусов имеем: KP/sin(α) = NP/sin(∠KPN) KP/sin(α) = MP/sin(∠KPM)

Так как угол NKP острый, то sin(α) > 0. Также известно, что ∠KPN и ∠KPM являются острыми углами, значит sin(∠KPN) и sin(∠KPM) также больше 0.

Так как sin(α) > 0, sin(∠KPN) > 0 и sin(∠KPM) > 0, то отношения KP/sin(α), NP/sin(∠KPN) и MP/sin(∠KPM) также больше 0.

Исключим из этих отношений sin(α): KP/sin(α) = NP/sin(∠KPN) KP/sin(α) = MP/sin(∠KPM)

Поделим первое уравнение на второе: (KP/sin(α)) / (KP/sin(α)) = (NP/sin(∠KPN)) / (MP/sin(∠KPM)) 1 = (NP/MP) * (sin(∠KPM)/sin(∠KPN))

Так как sin(∠KPM) / sin(∠KPN) > 0, то 1 > NP/MP.

Отсюда следует, что NP/MP < 1, или NP < MP.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике MNP, если точка K лежит на стороне MN и угол NKP острый, то KP < MP.