Question

Доведіть, що через точку, яка не належить даній прямій, проходить тільки одна пряма перпендикулярна до даної. Помогите пожалуйста (если что могу перевести на русский)

Answer 1

Пусть O – данная точка, лежащая вне данной прямой a, b – прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная прямой a. Чтобы построить прямую, нам необходимо указать (построить) еще какую-либо ее точку. Для этого проанализируем: какими свойствами обладают точки прямой b  a? В частности, любые две равные наклонные к прямой a, проведенные из точки O, имеют одинаковые проекции. Поэтому, если OA = OB – такие наклонные, то должно быть AC = CB, где C – точка пересечения прямых a и b.

Answer 2

Постановка задачи:

Дана точка, которая не лежит на данной прямой. Необходимо доказать, что через эту точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Если две прямые пересекаются и образуют прямой угол (угол, равный 90 градусов), то они называются перпендикулярными друг другу.

2. Если прямая пересекает другую прямую и образует два угла, один из которых равен 90 градусов, то эта прямая является перпендикулярной к данной прямой.

3. Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Давайте предположим, что через данную точку проходят две прямые, обе перпендикулярные данной прямой. Пусть эти две прямые обозначены как l₁ и l₂.

Так как l₁ и l₂ обе перпендикулярны данной прямой, они должны быть параллельными друг другу (в соответствии с фактом 3). Теперь представьте себе линейку, которая представляет собой данную прямую, и разместите ее на плоскости.

Поскольку l₁ и l₂ параллельны и проходят через данную точку, они должны пересекаться где-то еще в плоскости. Но это противоречит предположению, что через данную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что через данную точку проходят две перпендикулярные прямые, является ложным.

Следовательно, через данную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Таким образом, мы доказали, что через точку, которая не лежит на данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной прямой.