Question

В треугольнике АВС точка к делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС=4

Answer 1

Провести KT||AP (T ∈ BC) 
PT/BP = 1/3 (△KBT ∾ △ABP) 
PC/BP = 2/1 
BP = PC/2 
PT/(PC/2) = 1/3 
PT/PC = 1/6 = MK/MC (△MPC ∾ △KBC) 
S(KBM)/S(BMC) = MK/MC = 1/6 
S(KBC) = S(BMC) + S(KBM) = S(BMC) + S(BMC)/6 = 4 + 4/6 
S(KBC)/S(AKC) = BK/AK = 2/1 
S(AKC) = S(BKC)/2 = (4 + 4/6)/2 
S(ABC) = (4 + 4/6) + (4 + 4/6)/2 = 7

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства делимых отрезков и пропорций в треугольниках. Давайте посмотрим, как мы можем решить эту задачу шаг за шагом:

1. Найдем координаты точек K, Р и М:

Пусть точка A имеет координаты (0, 0), а точка B имеет координаты (x, 0), где x - длина стороны AB. Также пусть точка C имеет координаты (m, n), где m и n - координаты точки C.

Так как точка K делит отрезок AB в отношении AK:KB = 1:2, мы можем использовать координаты точек A и B, чтобы найти координаты точки K. По свойству делимых отрезков, координаты точки K будут (2/3 * x, 0).

Аналогично, используя отношение СР:РВ = 2:1 и координаты точек C и B, мы можем найти координаты точки P. Координаты точки P будут ((2/3 * m) + (1/3 * x), (2/3 * n) + (1/3 * 0)).

2. Найдем координаты точки М:

Так как прямые АР и СК пересекаются в точке М, мы можем найти координаты точки М, решив систему уравнений прямых АР и СК. Уравнение прямой АР можно записать в виде y = (y2-y1)/(x2-x1) * (x - x1) + y1, где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и P соответственно. Аналогично, уравнение прямой СК можно записать в виде y = (y2-y1)/(x2-x1) * (x - x1) + y1, где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек C и K соответственно.

Решив эту систему уравнений, мы найдем координаты точки М.

3. Найдем площадь треугольника АВС:

После того, как мы найдем координаты точки М, мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу площади треугольника по координатам. Формула площади треугольника по координатам выглядит следующим образом:

S = 1/2 * |(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2))|

где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

4. Найдем площадь треугольника ВМС:

Из условия задачи, площадь треугольника ВМС равна 4.

5. Найдем площадь треугольника АМС:

Поскольку площадь треугольника АМС равна разности площадей треугольников АВС и ВМС, мы можем вычислить площадь треугольника АМС, вычитая площадь треугольника ВМС из площади треугольника АВС.

S(АМС) = S(АВС) - S(ВМС)

6. Найдем площадь треугольника АВМ:

Поскольку площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АМС, мы можем вычислить площадь треугольника АВМ, используя следующую формулу:

S(АВМ) = 1/2 * S(АМС)

Теперь, когда мы знаем все шаги для решения этой задачи, давайте приступим к вычислениям.