Question

Труеугольник АВС является прямоугольным с гипотенузой АВ. На прямой АВ по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки АК=AC и BM=BC. Найдите угол КСМ.

Answer 1

Треугольник АВС

Угол АВС = х, угол САВ = 90-х, угол КАС =углу АСК = (180- (90+х))/2 =(90-х)/2

угол СВМ=180-х, угол ВСМ=углуСМВ= (180 -(180-х))/2 = х/2

угол КСМ= угол АСВ + угол АСК + угол ВСМ = 90 + (90-х)/2 + х/2 =270/2=135

 

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится применить теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.

Из условия задачи известно, что треугольник АВС является прямоугольным, гипотенуза которого равна отрезку АВ. То есть, АС = ВС.

Также известно, что на прямой АВ по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки АК = AC и BM = BC.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае это выглядит следующим образом:

АВ² = АС² + ВС²

Так как АС = ВС, то можно заменить их на одну переменную, например, х:

АВ² = х² + х²

АВ² = 2х²

Отсюда получаем, что х = АВ/√2.

Теперь рассмотрим треугольник КСМ. Из условия задачи известно, что АК = AC и BM = BC.

Так как АК = AC, то треугольник АКС является равнобедренным, а значит, угол КАС равен углу КСА.

Аналогично, так как BM = BC, то треугольник МBC является равнобедренным, а значит, угол МВС равен углу МСВ.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

угол КСМ = (угол КСА + угол МСВ) = (угол КАС + угол МВС)

Из равнобедренности треугольников АКС и МВС следует, что их углы КАС и МВС равны:

угол КСМ = (угол КАС + угол МВС) = (угол КСА + угол МСВ) = 2 * угол КСА

Таким образом, угол КСМ равен удвоенному углу КСА.

Теперь остается найти угол КСА. Для этого воспользуемся свойством прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике угол КАС является противолежащим углом катета КА, а угол КСА является противолежащим углом гипотенузы АВ.

Так как гипотенуза АВ является гипотенузой треугольника АКС, то угол КСА равен углу АКС.

Итак, угол КСА равен углу АКС, а угол КСМ равен удвоенному углу КСА.

Таким образом, чтобы найти угол КСМ, необходимо найти угол АКС.

Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением:

тангенс угла АКС = противолежащий катет (КА) / прилежащий катет (АС)

тангенс угла АКС = КА / АС = КА / АК = 1

Таким образом, тангенс угла АКС равен 1.

Чтобы найти угол АКС, найдем его арктангенс:

АКС = arctan(1)

Угол АКС равен 45°.

Теперь найдем угол КСМ:

угол КСМ = 2 * угол КСА = 2 * угол АКС = 2 * 45° = 90°.

Итак, угол КСМ равен 90°.