Question

Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В(рис.318). Докажите, что: а)треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б)А1А6=2r, где r-радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.Помогите, пожалуйста!Очень надо!Желательно подробное решение

Answer 1

Каждой стороне (например А1А2) соответствует центральный угол 360/12 = 30 градусов

(это, между прочим, касается не только описанной, но и вписанной оркужности).

Если провести А2А5 II А1А6, то угол А5А2А9, равный (очевидно) углу А6ВА9, - это вписанный угол, опирающийся на дугу А5А9 = 4*30 = 120 градусов.

Поэтому угол А6ВА9 равен 120/2 = 60 градусов. Поскольку треугольники А1ВА2 и А9ВА6 симметричны относительно ВО, то они равнобедренные с углом при вершине 60 градусов. То есть - равносторонние. 

(То, что треугольник А1А2В равносторонний, можно и так доказать, это будет правильно с "методической" точки зрения. Угол ВА1А2 - вписанный и опирается на дугу А2А6 в 30*4 = 120 градусов, то есть он равен 60 градусам, и угол ВА2А1 так же - опиравется на дугу А1А9 = 120 градусов... вобщем, все углы по 60 градусов, чтд)

 

Четырехугольник А1А6А7А12 - прямоугольник, поскольку А1А7 и А6А12 - диаметры (соответствующие дуги равны 30*6 = 180 градусов), а следовательно, углы четырехугольника все прямые. Поэтому расстояние между противоположными (параллельными!) сторонами А1А12 и А6А7 равно расстоянию между А1 и А6.  Ясно, что окружность, которая касается двух параллельных прямых, имеет диаметр, равный расстоянию между этими прямыми. То есть А1А6 = 2r

 

*то, что несколько исправлений - это потому, что много грамматических ошибок и опечаток.