Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) тангенс угла ВАС равен 0,75, К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если АК=b.

Answer 1

Хорошая задачка, хотя и очень простая.

Обозначим M - середина AC, BM - вертикальная ось симметрии АВС, N - точка касания АС вписаной окружностью, симметричная К относительно ВМ.

Тр-к АМС прямоугольный, BM/АМ =3/4 (по условию). Обозначим за х некую единицу измерения сторон, так что ВМ = 3*х, АМ = 4*х. Тогда АС = ВС = 5*х (надо ссылаться на Пифагора?), АN = АМ = 4*х, АС = 8*х.

Само собой, косинус ВАС (и ВСА) равен 4/5.

Имеем по теореме косинусов

b^2 = (8*x)^2 + (4*x)^2 - 2*(8*x)*(4*x)*(4/5);

Отсюда х^2 = b^2*5/144;

Площадь S = (4*x)*(3*x) = 12*x^2 = b^2*5/12 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти площадь треугольника АВС, если известно, что в нем АВ=ВС и тангенс угла ВАС равен 0,75, а К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Также дано, что АК=b.

Решение:

Для начала, давайте обратимся к свойствам вписанной окружности в треугольнике. Мы знаем, что вписанная окружность касается сторон треугольника в точках касания, которые мы обозначим как D, E и F для сторон АВ, ВС и АС соответственно.

Также, известно, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины А, перпендикулярна к основанию ВС и проходит через точку К.

Для простоты решения, обозначим длину стороны АК как h.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник АКС, где АК - высота, проведенная из вершины А. Из свойств треугольника, мы знаем, что площадь треугольника можно выразить через формулу S = 0.5 * a * h, где "a" - основание треугольника, а "h" - высота, проведенная из вершины.

В нашем случае, основанием треугольника АКС является сторона ВС, а высотой является АК (обозначено как h). Тогда площадь треугольника АКС можно выразить как S = 0.5 * ВС * h.

Также, мы знаем, что площадь треугольника АКС равна площади треугольника АВС минус площадь треугольника АКС. То есть S(АВС) = S(АКС) + S(КСВ).

Теперь, давайте найдем площадь треугольника АКС. Мы знаем, что АК = b, а тангенс угла ВАС равен 0,75. Тангенс угла равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне. В нашем случае, противоположной стороной является АК, а прилежащей стороной является ВС. То есть тангенс угла ВАС = АК / ВС = b / ВС.

Так как АВ = ВС, то ВС = 2b.

Теперь, мы можем записать уравнение:

0,75 = b / (2b)

Решая это уравнение, мы можем найти значение b:

0,75 = b / (2b) 0,75 * 2b = b 1,5b = b b = 0

У нас получилось, что b = 0, что не является допустимым значением. Это означает, что данная задача не имеет решения.

Итак, ответ на задачу: площадь треугольника АВС не может быть найдена, так как данная задача не имеет решения при заданных условиях.