Question

Докажите методом "от противного" теорему:"Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку".

Answer 1

Допустим, что 2 различные прямые а и с имеют более одной точки пересечения, например, две общие точки. Если это так и прямые а и с имеют две общие точки, то получается, что через две точки проходят две различные прямые а и с. А это противоречит аксиоме: "через две различные точки проходит единственная прямая". Значит, наше предположение о том, что различные прямые а и с имеют более одной точки пересечения, неверно. Следовательно, две различные прямые не могут иметь более одной точки пересечения.

Answer 2

Допустим, что у нас есть две различные прямые, которые пересекаются в двух или более точках. Давайте обозначим эти точки пересечения как A и B.

Так как точки A и B лежат на обеих прямых, они должны удовлетворять уравнениям обеих прямых. Пусть уравнение первой прямой имеет вид y = m1x + c1, а уравнение второй прямой имеет вид y = m2x + c2.

Таким образом, точка A должна удовлетворять уравнениям обеих прямых, то есть:

m1x + c1 = y = m2x + c2

Аналогично, точка B также должна удовлетворять этим уравнениям:

m1x + c1 = y = m2x + c2

Теперь давайте предположим, что точки A и B являются различными точками пересечения, что означает, что x-координаты этих точек различны. Обозначим их как x1 и x2 соответственно, где x1 ≠ x2.

Тогда мы можем записать уравнения для точек A и B следующим образом:

m1x1 + c1 = y1 = m2x1 + c2

m1x2 + c1 = y2 = m2x2 + c2

Теперь давайте вычтем первое уравнение из второго:

(m1x2 + c1) - (m1x1 + c1) = (m2x2 + c2) - (m2x1 + c2)

m1x2 - m1x1 = m2x2 - m2x1

m1(x2 - x1) = m2(x2 - x1)

Так как x2 ≠ x1, мы можем сократить общий множитель (x2 - x1) с обеих сторон уравнения:

m1 = m2

То есть, угловые коэффициенты этих прямых должны быть равными.

Однако, мы предположили, что эти две прямые пересекаются в двух или более точках, что означает, что они не параллельны. И если они не параллельны, то их угловые коэффициенты должны быть различными, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы пришли к противоречию и наше предположение о том, что эти две прямые пересекаются в двух или более точках, неверно. Значит, мы можем заключить, что пересечение двух различных прямых содержит только одну точку.