Question

32. Розвязати задачу ; Знайти площу рівнобедреної трапеції, у якої довжини основ дорівнюють 10см і 26см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін.

Answer 1

Если диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам, то высота трапеции - это высота прямоугольного треугольника, опущенного из прямого угла на гипотенузу. По свойству этой высоты, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В нашем случае эти отрезки равны полусумме и полуразности оснований трапеции (по свойству равнобедренной трапеции). Тогда h=√(18*8)=12.
Ответ: высота трапеции равна 12см
,

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивості рівнобедреної трапеції.

Оскільки діагоналі перпендикулярні до бічних сторін, то вони розбивають трапецію на два прямокутники, які мають спільну сторону - висоту трапеції.

Позначимо висоту трапеції як "h".

За властивостями прямокутника, площа прямокутника дорівнює добутку його сторін: S = a * b.

В першому прямокутнику, одна сторона "a" дорівнює висоті трапеції "h", а друга сторона "b" дорівнює половині суми основ трапеції: b = (10 + 26) / 2 = 36 / 2 = 18 см.

Тоді площа першого прямокутника дорівнює: S1 = h * 18.

У другому прямокутнику, одна сторона "a" також дорівнює висоті трапеції "h", а друга сторона "b" дорівнює половині різниці основ трапеції: b = (26 - 10) / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Тоді площа другого прямокутника дорівнює: S2 = h * 8.

Оскільки діагоналі перпендикулярні до бічних сторін, то прямокутники є прямокутниками з висотою "h" і основами, які дорівнюють діагоналям трапеції.

Одна діагональ трапеції, яка проходить через вершини основ, має довжину 26 см. Оскільки прямокутник є прямокутником з висотою "h" і основою 18 см, то за теоремою Піфагора можна знайти висоту трапеції: h^2 = 26^2 - 18^2.

Аналогічно, друга діагональ трапеції має довжину 10 см. Оскільки прямокутник є прямокутником з висотою "h" і основою 8 см, то за теоремою Піфагора можна знайти другий вираз для висоти трапеції: h^2 = 10^2 - 8^2.

Отже, маємо систему рівнянь:

h^2 = 26^2 - 18^2, h^2 = 10^2 - 8^2.

Знайдемо значення висоти трапеції "h" з цієї системи рівнянь.

Розв'язок системи рівнянь дає два значення для висоти трапеції: h1 ≈ 24.98 см та h2 ≈ 6.32 см.

Так як висота трапеції не може бути від'ємною, то приймаємо h = h2 ≈ 6.32 см.

Тепер можемо знайти площу кожного з прямокутників:

S1 = h * 18 ≈ 6.32 см * 18 см ≈ 113.76 см^2, S2 = h * 8 ≈ 6.32 см * 8 см ≈ 50.56 см^2.

Оскільки площа трапеції дорівнює сумі площ прямокутників, то площа рівнобедреної трапеції дорівнює:

S = S1 + S2 ≈ 113.76 см^2 + 50.56 см^2 ≈ 164.32 см^2.

Отже, площа рівнобедреної трапеції дорівнює приблизно 164.32 квадратних сантиметра.