Question

Длина ветки 2м. В начале ветки сидит червяк. за первую минуту он проползает 1м., за следующую-1/2м., в течении следующей-1/4м. и так далее, т. е. за каждую следующую минуту он проползает в 2 раза меньше, чем в предыдущую. Доберется ли когда-нибудь червяк до конца ветки?

Answer 1

Да он доползёт до конца ветки

Answer 2

Да, червяк доберется до конца ветки.

Для решения данной задачи можно использовать геометрическую прогрессию. Расстояние, которое проползает червяк за каждую минуту, образует геометрическую прогрессию с первым членом а₁ = 1 метр и знаменателем q = 1/2.

Формула для суммы n членов геометрической прогрессии: Sn = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Для того чтобы узнать, доберется ли червяк до конца ветки, нужно найти сумму всех членов прогрессии и проверить, равна ли она или превышает длину ветки.

Длина ветки: L = 2 метра.

Подставим значения в формулу и найдем сумму всех членов прогрессии: Sn = 1 * (1 - (1/2)ⁿ) / (1 - 1/2)

Лимит суммы Sn при n стремящемся к бесконечности равен сумме a₁ / (1 - q) = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Таким образом, сумма всех членов прогрессии равна 2 метрам, что больше длины ветки. Значит, червяк доберется до конца ветки.