Question

Свойства и признаки паралельных прямых (1-3) c доказательством

Answer 1

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .

Рис. 1

Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).

Рис. 2

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

.

2. Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы

Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).

Рис. 3

с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углыназываются:

- накрест лежащие углы: , ;

- односторонние углы: , ;

- соответственные углы: , , , .

 – смежные углы.

 – вертикальные углы.

3. Признаки параллельности прямыx

Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и  (Рис. 4).

Рис. 4

Докажем, что .

Доказательство:

Рис. 5

Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .

Имеем два треугольника  и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).

Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и  лежат на одной прямой.

Также . Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.

Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.

Второй признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.

Рис. 6

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Третий признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).

Рис. 7

Доказательство:

Значит,  .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

4. Решение задач

Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.

Рассмотрим пример:

а, b, с – прямые; с – секущая,,  (Рис. 8)

Рис. 8

Сведем к одному из признаков параллельности прямых.

Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.

На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Answer 2

Свойства и признаки параллельных прямых:

1. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Если две прямые имеют угловые коэффициенты равные между собой, то они параллельны. Доказательство: Пусть даны две прямые с уравнениями y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Если k1 = k2, то прямые параллельны.

2. Параллельные прямые имеют одинаковое расстояние между собой. Если расстояние между двумя прямыми равно d, то они параллельны. Доказательство: Пусть даны две параллельные прямые с уравнениями y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Расстояние между прямыми можно найти по формуле d = |b2 - b1| / √(1 + k^2), где k = k2 - k1. Если d = 0, то прямые совпадают, иначе они параллельны.

3. Параллельные прямые не пересекаются. Если две прямые не имеют точек пересечения, то они параллельны. Доказательство: Пусть даны две прямые с уравнениями y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Если система уравнений y = k1x + b1 и y = k2x + b2 не имеет решений, то прямые параллельны.

Все эти свойства и признаки можно использовать для определения параллельности прямых в геометрии и алгебре.