Question

В прямоугольном треугольнике abc угол c 90, ac+bc=17 см, а радиус вписанной в него окружности =2 см,найдите S треуг. abc?

Answer 1

Решение в скане..................

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S = (p * r) / 2,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Полупериметр треугольника p можно найти, используя формулу:

p = (a + b + c) / 2,

где a, b, c - стороны треугольника.

В нашем случае, у нас есть прямоугольный треугольник abc, где угол c = 90 градусов, ac + bc = 17 см, а радиус вписанной окружности r = 2 см.

Так как угол c = 90 градусов, то треугольник abc является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения сторон треугольника.

В данном случае, согласно теореме Пифагора, имеем:

a^2 + b^2 = c^2.

Так как у нас уже известно, что c = 17 см, то можем записать:

a^2 + b^2 = 17^2.

Также, у нас есть радиус вписанной окружности r = 2 см. Учитывая, что радиус вписанной окружности является расстоянием от центра окружности до любой стороны треугольника, можем записать:

r = (a + b - c) / 2.

Теперь, решим систему уравнений, состоящую из уравнения Пифагора и уравнения для радиуса вписанной окружности.

Из уравнения Пифагора получим:

a^2 + b^2 = 289.

Из уравнения для радиуса вписанной окружности получим:

2 = (a + b - 17) / 2.

Упростим последнее уравнение:

4 = a + b - 17.

Теперь, решим систему уравнений:

a^2 + b^2 = 289, a + b = 21.

Можно решить эту систему методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую. Воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим, например, b через a:

b = 21 - a.

Подставим это выражение в первое уравнение:

a^2 + (21 - a)^2 = 289.

Раскроем скобки:

a^2 + 441 - 42a + a^2 = 289.

Соберем все слагаемые с переменной a в одну часть уравнения:

2a^2 - 42a + 152 = 0.

Разделим все слагаемые на 2:

a^2 - 21a + 76 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня, факторизации или формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4*1*76 = 441 - 304 = 137.

Так как дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных корня:

a1 = (21 + √137) / 2, a2 = (21 - √137) / 2.

Подставим найденные значения a во второе уравнение:

b1 = 21 - a1, b2 = 21 - a2.

Теперь, найдем значения a и b:

a1 ≈ 17.23, b1 ≈ 3.77.

a2 ≈ 3.77, b2 ≈ 17.23.

Таким образом, мы получили две пары значений для сторон треугольника: (a1, b1) и (a2, b2).

Теперь, найдем площадь треугольника с использованием формулы:

S1 = (p1 * r) / 2, S2 = (p2 * r) / 2.

Для первой пары значений a1 и b1:

p1 = (a1 + b1 + c) / 2 = (17.23 + 3.77 + 17) / 2 ≈ 19.5.

S1 = (19.5 * 2) / 2 = 19.5.

Для второй пары значений a2 и b2:

p2 = (a2 + b2 + c) / 2 = (3.77 + 17.23 + 17) / 2 ≈ 18.5.

S2 = (18.5 * 2) / 2 = 18.5.

Таким образом, площадь треугольника abc составляет приблизительно 19.5 квадратных сантиметров или 18.5 квадратных сантиметров в зависимости от выбранной пары значений a и b.