Question

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6√3 см, а радиус вписанной в него окружности - 9 см. Сколько сторон имеет многоугольник?

Answer 1

Так  как  многоугольник  правильный  ⇒  центры    вписанной  и  описанной 
окружности  общее,  обозначим  центр  буквой О. Берем  произвольный  сектор  АОВ  ;  С  точка  касания  вписанной  окружности  с  АВ   ⇒  
    R = OA = 6√3  ; r = OC = 9
  OC : OA = r : R = Cos(∠AOC) 
 Cos(∠AOC) = 9 : 6√3 =  √3/2   ⇒ 
    ∠AOC = 30°  ⇒  ∠AOB = 60° = 1/6 · 360°  ⇒ 
  Многоугольник   -  шестиугольник.
  Ответ  6

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой, связывающей радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности правильного многоугольника:

r = R * cos(π/n)

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, n - количество сторон многоугольника.

Подставим известные значения в формулу:

9 = 6√3 * cos(π/n)

Разделим обе части уравнения на 6√3:

3/2√3 = cos(π/n)

Теперь найдем значение арккосинуса от левой части уравнения:

π/n = arccos(3/2√3)

Так как мы ищем количество сторон многоугольника, то n должно быть целым числом. Подберем такое целое значение n, чтобы arccos(3/2√3) был кратным π.

arccos(3/2√3) ≈ 0.523598776

Так как arccos(3/2√3) < π, значит, нам нужно найти наименьшее целое значение n, при котором arccos(3/2√3) будет равно π.

n = 6

Таким образом, правильный многоугольник имеет 6 сторон.