Question

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Answer 1

Вариант решения.
Пусть точки касания вневписанной окружности  с продолжениями сторон  АВ и ВС треугольника  АВС будут  Р и М.
Центр  О вписанной в угол окружности окружности лежит на его биссектрисе. 
СО - биссектриса угла АСМ, ВО - биссектриса угла РВМ.
Центр О лежит на их пересечении. 
Центр К вписанной в треугольник  ВСА окружности также лежит на пересечении его биссектрис ВН и СК. 
Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на одной прямой ВО как вписанные в один угол. 
Угол КСО - половина развернутного угла АСМ ( т.к. состоит из половин смежных углов). ⇒
Угол КСО=90°
Треугольник АВС - равнобедренный, ⇒ 
ВН его биссектриса, высота, медиана. ⇒
ВН перпендикулярна АС и делит её пополам.
АН=НС=12:2=6
Треугольник КСО - прямоугольный,
 СН - его высота, КО - гипотенуза. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к биссектрисе, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые делит её.
Отрезок КН = r = радиус вписанной окружности в треугольник АВС. 
Отрезок ОН=R=8 - радиус вневписанной окружности. 
СН²=КН*НО
36=r*8 ⇒
r=36:8=4,5
см. рисунок во вложении. 
-------
[email protected]

Answer 2

Решение:

Для начала, обозначим точки касания окружности с продолжениями боковых сторон треугольника как D и E, а точку касания с основанием AC как F. Также обозначим точку, в которой вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB, как G.

Так как окружность радиуса 8 касается продолжений боковых сторон треугольника, то отрезки AD и AE равны радиусу окружности и следовательно равны 8. Также, отрезок AF равен радиусу вписанной окружности, который мы обозначим как r.

Теперь, рассмотрим треугольник AFG. Он является прямоугольным, так как AF и AG являются радиусами окружностей, касающихся сторон треугольника под углом касания. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения отрезка FG:

FG^2 = AG^2 - AF^2

AG равно сумме радиуса вписанной окружности r и радиуса окружности равнобедренного треугольника 12, то есть 12 + r.

Таким образом, мы имеем:

FG^2 = (12 + r)^2 - r^2

Теперь, рассмотрим треугольник FDE. Он также является прямоугольным, так как FD и FE являются радиусами окружностей, касающихся сторон треугольника под углом касания. Мы также можем использовать теорему Пифагора для нахождения отрезка DE:

DE^2 = ED^2 - FD^2

ED равно сумме радиуса вписанной окружности r и радиуса окружности равнобедренного треугольника 12, то есть 12 + r.

Итак, у нас есть:

DE^2 = (12 + r)^2 - r^2

Так как отрезки FG и DE равны, мы можем приравнять выражения для них:

(12 + r)^2 - r^2 = (12 + r)^2 - r^2

Решив это уравнение, мы получим значение радиуса вписанной окружности r.