Question

Докажите, что если в треугольнике две медианы равны, то это треугольник равнобедренный

Answer 1

Треугольник на рисунке
точкой пересечения медианы треугольника делят себя на отрезки в отношении 1:2, поэтому если медианы AE и BD равны, то AF=BF. Значит треугольник AFB является равнобедренным, проведем из точки С медиану CH на сторону АВ. Она пересекает две другие медианы в точке F. Т. е. AFB равнобедренный, FH - высота, значит и CH - высота, а медиана является высотой только в равнобедренном треугольнике

Answer 2

Пусть в треугольнике ABC две медианы AM и BN равны. Медианы делят стороны треугольника пополам, поэтому AM = BM и BN = CN.

Докажем, что треугольник ABC равнобедренный. Рассмотрим два случая:

1) Если AM = BM и BN = CN, то треугольник ABC равносторонний, так как все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы также равны и равны 60 градусов, поэтому треугольник ABC также будет равнобедренным.

2) Если AM = BM и BN ≠ CN, то рассмотрим треугольник ABN. В этом треугольнике AM является медианой, а BN является медианой и высотой, опущенной из вершины B. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины, делит основание пополам, поэтому BN делит сторону AB пополам, то есть AB = 2BN. Но по условию AM = BM, поэтому AB = AM + BM = 2AM. Значит, треугольник ABN равнобедренный, так как AB = 2BN.

Таким образом, в обоих случаях треугольник ABC является равнобедренным, что и требовалось доказать.