Question

В субботу экзамен! помогите с задачей, пожалуйста! Основание пирамиды - ромб со стороной 16 см и острым углом 60 градусов. Двугранные углы при основании пирамиды также равны 60 градусам. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Тут можно много рассказать - если грани равнонаклонены, то в основание пирамиды можно вписать окружность (основание при этом - любой выпуклый многоугольник, тут все дело в том, что высота пирамиды "видна" из основания апофемы любой грани под одинаковым углом. Поэтому равны все апофемы и все их проекции, то есть в основании есть точка, равноудаленная от всех сторон. "Видна" означает, что все прямоугольные треугольники, составленные из высоты пирамиды, любой апофемы и её проекции на основание, имеют одинаковый острый угол, противолежащий общему катету, которым и является высота пирамиды. Поэтому эти треугольники все равны между собой).

Поэтому шаблонное решение этой задачи - вычислить радиус вписанной окружности в ромб, а апофема будет в 2 раза больше (потому что угол между ними 60 градусов), то есть равна диаметру вписанной окружности. При этом очевидно, что диаметр окружности - это высота ромба (когда окружность касается 2 параллельных прямых, её диаметр равен расстоянию между прямыми). То есть сторона, умноженная на sin(60). Итак, апофема равна 8*корень(3), радиус вписанной окружности 4*корень(3). Периметр ромба 64, поэтому площадь основания 64*4*корень(3)/2, а площадь боковой поверхности 64*8*корень(3)/2, и складываем. Получаем 384*корень(3).

 

Замечу, что технически задача решается на много проще, если вы хорошо ориентируетесь в материале. Дело в том, что основание можно рассматривать как "сумму ортогональных проекций граней", а поскольку грани равнонаклонены, Sboc*cos(Ф) = Sosn. cos(Ф) = 1/2, то есть площадь боковой поверхности в 2 раза больше площади основания. А площадь основания считается как 16^2*sin(А), А - острый угол ромба. Полная площадь 3*16^2*корень(3)/2 = 384*корень(3)

 

Answer 2

Для вычисления площади полной поверхности пирамиды нам понадобятся следующие шаги:

1. Найдите площадь основания пирамиды. 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Сложите площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды.

1. Найдите площадь основания пирамиды

Дано, что основание пирамиды - ромб со стороной 16 см и острым углом 60 градусов. Для вычисления площади ромба можно использовать следующую формулу:

Площадь ромба = (длина диагонали1 * длина диагонали2) / 2

В ромбе с острым углом 60 градусов, длины диагоналей связаны следующим образом: длина диагонали2 = 2 * (длина стороны * sin(60 градусов)). В данном случае, длина диагонали2 будет равна 2 * (16 см * sin(60 градусов)).

Таким образом, площадь основания пирамиды будет:

Площадь основания = (16 см * 2 * (16 см * sin(60 градусов))) / 2

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Для вычисления площади боковой поверхности пирамиды, нам понадобится найти площадь треугольника, образованного боковой стороной пирамиды и двумя ребрами основания.

Так как двугранные углы при основании пирамиды также равны 60 градусам, то боковая сторона пирамиды будет равна стороне основания, то есть 16 см. Также, у нас есть угол между боковой стороной и одним из ребер основания, равный 60 градусам.

Для вычисления площади треугольника, можно использовать следующую формулу:

Площадь треугольника = (1/2) * (длина стороны1 * длина стороны2) * sin(угол между стороной1 и стороной2)

В нашем случае, площадь боковой поверхности пирамиды будет:

Площадь боковой поверхности = (1/2) * (16 см * 16 см) * sin(60 градусов)

3. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды

Найденные значения площади основания и площади боковой поверхности сложите, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды:

Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности

Подставьте значения из шагов 1 и 2 в формулу для получения итогового результата.