Question

Составить уравнения прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m; под прямым углом

Answer 1

Точка N(1;1;2) лежит на прямой m; вектор a(5;-1;2) параллелен прямой m. В качестве направляющего вектора прямой l возьмем вектор MN+ta,
подобрав t таким образом, чтобы получившийся вектор перпендикулярен a, то есть чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.  

MN=(1-2;1-4;2-1)=( - 1; - 3; 1);

(MN+ta;a)=0; (MN;a)+t(a;a)=0; (-1)5+(-3)(-1)+2+(5^2+(-1)^2+2^2)t=0;
-5+3+2+30t=0; t=0.
Таким образом, задача сформулирована так, что сам вектор MN перпендикулярен прямой m. Тем проще. Остается написать канонические уравнения прямой l, как прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору MN (хотя, если честно, я больше люблю параметрические уравнения...):

$\frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-1}{1}$
 

Answer 2

Составление уравнения прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m под прямым углом

Для составления уравнения прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m под прямым углом, мы можем воспользоваться методом нахождения уравнения прямой в трехмерном пространстве.

1. Найдем уравнение прямой m: Предположим, уравнение прямой m задано в параметрической форме: \[ m: \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \] где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки прямой m, (a, b, c) - направляющие косинусы.

2. Найдем направляющие косинусы прямой m: Направляющие косинусы прямой m могут быть найдены из коэффициентов перед t в параметрическом уравнении прямой m: \[ \vec{v}_m = (a, b, c) \]

3. Найдем уравнение прямой l: Уравнение прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m под прямым углом, можно найти используя параметрическое уравнение прямой и условие пересечения прямых под прямым углом.

4. Найдем уравнение прямой l: Пусть точка M(2;4;1) лежит на прямой l, а вектор направления прямой l равен \(\vec{v}_l = (p, q, r)\), тогда параметрическое уравнение прямой l будет иметь вид: \[ l: \begin{cases} x = 2 + pt \\ y = 4 + qt \\ z = 1 + rt \end{cases} \]

5. Найдем условие пересечения прямых под прямым углом: Две прямые пересекаются под прямым углом, если векторы их направлений ортогональны: \[ \vec{v}_l \cdot \vec{v}_m = 0 \] Раскроем скалярное произведение и подставим значения направляющих косинусов прямых l и m: \[ p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c = 0 \]

6. Найдем уравнение прямой l: Используя найденное условие пересечения прямых под прямым углом, мы можем получить уравнение прямой l.

Таким образом, используя параметрические уравнения прямых и условие пересечения под прямым углом, мы можем найти уравнение прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m под прямым углом.