Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;1), В(1;-4), С(5;2) а)найдите координаты середины D стороны ВСб) Докажите, что АD⊥ВС

Answer 1

$x_D= \frac{x_B+x_C}{2}= \frac{1+5}{2}=3 \\ \\ y_D= \frac{y_B+y_C}{2}= \frac{-4+2}{2}=-1$

Уравнение прямой ВС

$\frac{x-x_B}{x_C-x_B}= \frac{y-y_B}{y_C-y_B} \\ \\ \frac{x-1}{5-1}= \frac{y-(-4)}{2-(-4)} \\ \\ \frac{x-1}{4}= \frac{y+4}{6} \\ \\ 6\cdot(x-1)=4\cdot(y+4) \\ \\ 6x-4y-22=0$
 Нормальный вектор прямой ВС 

$\vec n_{BC}(6;-4)$

Уравнение прямой AD

$\frac{x-x_A}{x_D-x_A}= \frac{y-y_A}{y_D-y_A} \\ \\ \frac{x-0}{3-0}= \frac{y-1}{-1-1} \\ \\ \frac{x}{3}= \frac{y-1}{-2} \\ \\ -2\cdot x=3\cdot(y-1) \\ \\ 2x+3y-3=0$
Нормальный вектор прямой AD

$\vec n_{AD}(2;3)$

Нормальные векторы ортогональны, так как их скалярное произведение

$\vec n_{BC}(6;-4)\cdot \vec n_{AD}(2;3)=6\cdot 2+(-4)\cdot 3=12-12=0$

Значит и прямые ВС и AD  перпендикулярны

Answer 2

Нахождение координат середины стороны ВС

Для нахождения координат середины стороны ВС треугольника АВС, мы можем использовать формулу для нахождения средней точки между двумя точками. Формула для нахождения координат середины стороны между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:

xₘ = (x₁ + x₂) / 2 yₘ = (y₁ + y₂) / 2

В данном случае, точки В(1, -4) и С(5, 2) являются конечными точками стороны ВС треугольника АВС. Подставляя значения в формулу, мы можем найти координаты середины стороны ВС.

xₘ = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3 yₘ = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты середины стороны ВС равны D(3, -1).

Доказательство, что АD⊥ВС

Для доказательства, что АD перпендикулярно ВС, мы можем использовать свойство перпендикулярности двух прямых, которое гласит, что две прямые перпендикулярны друг другу, если и только если их угловой коэффициент (наклон) произведения их коэффициентов наклона равен -1.

Угловой коэффициент (наклон) прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), может быть найден с помощью следующей формулы:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Сначала нам нужно найти угловой коэффициент для прямой ВС. Используя точки В(1, -4) и С(5, 2), мы можем вычислить:

m₁ = (2 - (-4)) / (5 - 1) = 6 / 4 = 3 / 2

Затем мы найдем угловой коэффициент для прямой АD. Используя точки А(0, 1) и D(3, -1), мы можем вычислить:

m₂ = (-1 - 1) / (3 - 0) = -2 / 3

Теперь, чтобы доказать, что АD перпендикулярно ВС, мы должны убедиться, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

m₁ * m₂ = (3/2) * (-2/3) = -1

Таким образом, мы видим, что произведение угловых коэффициентов равно -1, что означает, что АD перпендикулярна ВС. Доказательство завершено.