Question

Решите две задачи с объяснением. 1. Определите углы треугольника АВС, если известны координаты вершин: А(2,-1,3), В(1,1,1), С(0,0,5). 2. Покажите, что точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и D(5,0,-6) лежат на одной плоскости.

Answer 1

1.
AB = $\sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2+(3-1)^2}$= 3
BC = $\sqrt{(0-1)^2+(0-1)^2+(5-1)^2}= 3\sqrt2$
AC = $\sqrt{(0-2)^2+(0+1)^2+(5-3)^2}$= 3
Треугольник со сторонами, которые относятся как 1:1:√2 -- прямоугольный равнобедренный, т. е. имеет углы: 90°, 45°, 45°.

2.
Вектор АВ (-1, 3, 3).
Вектор АС (0, 4, 2).
Вектор АD (3, 1, -4).

Смешанное произведение этих векторов:
| -1  3   3 |
|  0  4   2 | = -1·(4·(-4) - 1·2) + 3·(3·2 - 4·3) = 18 - 18 = 0
|  3  1  -4 |

Смешанное произведение векторов АВ, AC и AD равно 0, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной плоскости.

Answer 2

1. Чтобы найти углы треугольника АВС, сначала найдем длины сторон треугольника, а затем используем формулу косинуса для нахождения углов.

Длины сторон треугольника: AB = √((1-2)^2 + (1-(-1))^2 + (1-3)^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 BC = √((0-1)^2 + (0-1)^2 + (5-1)^2) = √(1 + 1 + 16) = √18 AC = √((0-2)^2 + (0-(-1))^2 + (5-3)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Теперь найдем углы треугольника: Угол A = arccos((AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2*AB*AC)) = arccos((3^2 + 3^2 - 18) / (2*3*3)) = arccos((9 + 9 - 18) / 18) = arccos(0) = 90° Угол B = arccos((AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2*AB*BC)) = arccos((3^2 + 18 - 3^2) / (2*3*√18)) = arccos(18 / (6*√18)) = arccos(1/√18) ≈ 74.74° Угол C = 180° - 90° - 74.74° = 15.26°

Таким образом, углы треугольника АВС равны: A = 90°, B ≈ 74.74°, C ≈ 15.26°.

2. Чтобы показать, что точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и D(5,0,-6) лежат на одной плоскости, воспользуемся определением коллинеарности точек.

Точки лежат на одной плоскости, если векторы, образованные этими точками, коллинеарны. Для этого проверим, что векторы AB, AC и AD коллинеарны.

Вектор AB = В - A = (1-2, 2-(-1), 1-(-2)) = (-1, 3, 3) Вектор AC = C - A = (2-2, 3-(-1), 0-(-2)) = (0, 4, 2) Вектор AD = D - A = (5-2, 0-(-1), -6-(-2)) = (3, 1, -4)

Теперь проверим их коллинеарность. Для этого найдем их скалярное произведение. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарны.

(-1, 3, 3) * (0, 4, 2) = -1*0 + 3*4 + 3*2 = 0 (-1, 3, 3) * (3, 1, -4) = -1*3 + 3*1 + 3*(-4) = 0 (0, 4, 2) * (3, 1, -4) = 0*3 + 4*1 + 2*(-4) = 0

Таким образом, скалярное произведение всех векторов равно нулю, что означает, что точки А, В, С и D лежат на одной плоскости.