Question

Даны координаты вершин треугольника abc a(-6;1) b(2;4) c(2;-2) докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Выясните, является ли треугольник ABC прямоугольным. Найдите длинну медианы BKКак называется тема, зная котррую можно решить эту задачу

Answer 1

1) Чтобы треугольник был равнобедренным, две стороны должны быть равны, то есть расстояния между точками должны быть равными
A(-6;1)   B(2;4)   C(2;-2)
$AB= \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2}= \\ \\ =\sqrt{(2+6)^2+(4-1)^2} = \sqrt{64+9} =\sqrt{73} \\ \\ AC= \sqrt{(X_C-X_A)^2+(Y_C-Y_A)^2}= \\ \\ =\sqrt{(2+6)^2+(-2-1)^2} = \sqrt{64+9}= \sqrt{73} \\ \\ CB= \sqrt{(X_B-X_C)^2+(Y_B-Y_C)^2}= \\ \\ =\sqrt{(2-2)^2+(4+2)^2} = \sqrt{36} =6$
AB = AC  ⇒ ΔABC - равнобедренный

2) ΔABC :    AB=AC=√73;  BC=6 .
В прямоугольном треугольнике равными могут быть только катеты. Самая длинная сторона - гипотенуза - не может быть равна катетам. 
BC=6 < AB=AC=√73  ⇒  ΔABC не является прямоугольным

3) BK - медиана  ⇒  AK = KC.  Координаты точки K
$X_K= \frac{X_A+X_C}{2} = \frac{-6+2}{2} =-2 \\ \\ Y_K= \frac{Y_A+Y_C}{2} = \frac{1-2}{2} =-0,5$
 B(2;4)   K(-2; -0,5)
$BK = \sqrt{(X_K-X_B)^2+(Y_K-Y_B)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2-2)^2+(-0,5-4)^2}= \sqrt{16+20,25} = \sqrt{36,25}$
BK = √36,25 ≈ 6,02

P.S. Тема: координатная плоскость, координаты точек, расстояние между точками

Answer 2

Решение:

Для доказательства, что треугольник ABC является равнобедренным, необходимо проверить, равны ли длины двух его сторон. Для этого найдем длины сторон AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) Подставим значения координат вершин треугольника ABC:

AB = √((2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73 BC = √((2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2) = √(0^2 + (-6)^2) = √36 = 6 AC = √((2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2) = √(8^2 + (-3)^2) = √(64 + 9) = √73

Таким образом, AB = AC = √73, что означает, что треугольник ABC является равнобедренным.

Для определения, является ли треугольник ABC прямоугольным, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Найдем квадраты длин сторон AB, BC и AC:

AB^2 = (AB)^2 = (√73)^2 = 73 BC^2 = (BC)^2 = 6^2 = 36 AC^2 = (AC)^2 = (√73)^2 = 73

Таким образом, AB^2 + BC^2 = 73 + 36 = 109, что не равно AC^2 = 73. Следовательно, треугольник ABC не является прямоугольным.

Для нахождения длины медианы BK можно воспользоваться формулой для нахождения длины медианы треугольника:

BK = (1/2) * √(2 * AC^2 + 2 * BC^2 - AB^2) Подставим значения длин сторон AB, BC и AC:

BK = (1/2) * √(2 * 73 + 2 * 36 - 73) = (1/2) * √(146 + 72 - 73) = (1/2) * √(145) = √(145)/2

Таким образом, длина медианы BK равна √(145)/2.

Тема, зная которую можно решить эту задачу, - это геометрия треугольников.