Question

Через вершину конуса проведена плоскость под углом альфа к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом бетта. Определить площадь полной поверхности, если расстояние от центра основания до сечения равна d

Answer 1

Дан конус с вершиной Е. ЕО - высота, АВ - хорда, ОМ⊥АВ, ОК=d, ∠ОАМ=α, ∠АОВ=β. 
В тр-ке АОМ АО - радиус основания, АО=ОМ/cos(β/2)=d/cos(β/2), AM=OM·tg(β/2)=d·tg(β/2).
В тр-ке ЕОМ ЕМ=ОМ/sinα=d/sinα.
В тр-ке ЕАМ $EA= \sqrt{ AM^{2}+ EM^{2} }= \sqrt{ \frac{ d^{2} }{ sin^{ 2 } \alpha }+ d^{2} tg^{2} \frac{ \beta }{2} }$
Площадь боковой поверхности:
$S= \frac{Ph}{2} = \frac{2 \pi OA*AE}{3} = \frac{2 \pi d^{2} }{3cos \frac{ \beta }{2} }* \sqrt{ \frac{1}{sin \alpha } + tg^{2} \frac{ \beta}{2} }$
Площадь основания: Sосн=πR²=πd²/cos²(β/2)
Общая площадь равна сумме площадей основания и боковой поверхности: Sобщ=Sосн+Sбок.
$\frac{2 \pi d^{2} }{3 cos^{2} \frac{ \beta }{2} } \sqrt{ \frac{1}{sin \alpha }+ tg^{2} \frac{ \beta }{2} }+ \frac{ \pi d^{2} }{ cos^{2} \frac{ \beta }{2} }= \frac{ \pi d^{2} }{3 cos^{2} \frac{ \beta }{2} } *(2 \sqrt{ \frac{1}{sin \alpha } + tg^{2} \frac{ \beta }{2} } + 3)$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать геометрические свойства конуса и плоскости, чтобы определить площадь полной поверхности.

Шаг 1: Определение основных элементов

Давайте определим основные элементы, которые даны в задаче: - Расстояние от центра основания до сечения: d - Угол между плоскостью, проходящей через вершину конуса, и плоскостью основания: α - Угол, под которым видна хорда из центра основания: β

Шаг 2: Расчет радиуса основания

Для расчета площади полной поверхности конуса, нам необходимо знать радиус основания. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для этого.

В треугольнике, образованном радиусом основания, расстоянием от центра основания до сечения и хордой, у нас есть следующие соотношения: - Тангенс угла α: tan(α) = d / r, где r - радиус основания - Тангенс угла β: tan(β) = (r/2) / d

Используя эти соотношения, мы можем выразить радиус основания r через известные величины: - r = d / tan(α) - r = 2d / tan(β)

Шаг 3: Расчет площади полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса состоит из двух частей: площади боковой поверхности и площади основания.

- Площадь боковой поверхности: S_bok = π * r * l, где l - образует образующую боковой поверхности с радиусом основания r. - Площадь основания: S_osn = π * r^2

Образующая l может быть найдена с использованием теоремы Пифагора: - l = √(d^2 + r^2)

Таким образом, общая площадь полной поверхности S_total составляет: - S_total = S_bok + S_osn - S_total = π * r * l + π * r^2

Шаг 4: Подставление значений и вычисление площади полной поверхности

Подставим найденное значение радиуса основания r в формулу для площади полной поверхности:

- S_total = π * (2d / tan(β)) * √(d^2 + (2d / tan(β))^2) + π * (2d / tan(β))^2

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности, используя известные значения d, α и β.