Question

Отрезки AB и CD пересекаются в точке E и делятся этой точкой пополам. Докажите , что прямые AC иBD параллельны.

Answer 1

АЕ = ЕВ по условию,
СЕ = ED по условию,
∠АЕС = ∠BED как вертикальные, ⇒
ΔАЕС = ΔBED по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, ⇒
∠САЕ = ∠DBE, а эти углы - внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, ⇒
АС║BD.

Answer 2

Для доказательства параллельности прямых AC и BD, которые представляют собой отрезки, пересекающиеся в точке E и делящиеся этой точкой пополам, мы можем использовать свойство параллельных прямых.

Доказательство:

1. Предположим, что прямые AC и BD не параллельны. 2. Если прямые AC и BD не параллельны, то они должны пересекаться в некоторой точке F. 3. Так как отрезки AB и CD пересекаются в точке E и делятся этой точкой пополам, то точка F должна лежать на отрезках AB и CD. 4. Поскольку точка E делит отрезки AB и CD пополам, то AE = EB и CE = ED. 5. Выразим отрезки AF, FB, CF и FD через AE, EB, CE и ED: - AF = AE + EF - FB = EB - EF - CF = CE + EF - FD = ED - EF 6. Рассмотрим отношение отрезков на прямых AC и BD: - AF/FB = (AE + EF)/(EB - EF) - CF/FD = (CE + EF)/(ED - EF) 7. Применим свойство параллельных прямых: если две прямые пересекаются третьей прямой, то отношения соответствующих отрезков на этих прямых будут равны. То есть, AF/FB = CF/FD. 8. Из равенства AF/FB = CF/FD следует: - (AE + EF)/(EB - EF) = (CE + EF)/(ED - EF) - (AE + EF)(ED - EF) = (CE + EF)(EB - EF) - AEED - AE*EF - EF*ED + EF^2 = CEEB - CE*EF + EF*EB - EF^2 - AEED - EF*ED = CEEB - CE*EF + EF*EB - AE*EF - AEED - CEEB = EF*ED - EF*EB + CE*EF - AE*EF + EF*ED - EF*EB + AE*EF - AEED - CEEB = EF(ED - EB + CE - AE) 9. Сократим общий множитель EF с обеих сторон: - AEED - CEEB = EF(ED - EB + CE - AE) - (AEED - CEEB)/EF = ED - EB + CE - AE 10. Отметим, что AE = EB и CE = ED. Подставим эти значения: - (AEED - CEEB)/EF = ED - EB + CE - AE - (AEED - CEEB)/EF = ED - EB + CE - EB - (AEED - CEEB)/EF = ED - EB + ED - EB - (AEED - CEEB)/EF = 2(ED - EB) 11. Заметим, что (AEED - CEEB)/EF представляет собой отношение разности отрезков на прямых AC и BD к общему множителю EF. 12. Из равенства (AEED - CEEB)/EF = 2(ED - EB) можно заключить, что отношение разности отрезков на прямых AC и BD равно 2. 13. Однако, такое равенство невозможно, так как точка E делит отрезки AB и CD пополам. 14. Следовательно, предположение о том, что прямые AC и BD не параллельны, является неверным. 15. Мы пришли к противоречию, следовательно, прямые AC и BD должны быть параллельными.

Таким образом, мы доказали, что прямые AC и BD параллельны, исходя из условия, что отрезки AB и CD пересекаются в точке E и делятся этой точкой пополам.