Question

через внутреннюю точку треугольника проведены прямые параллельно всем сторонам данного треугольника. Площади образовавшихся треугольников равны 25, 16, 4. найдите площадь данного треугольника. ответ 121

Answer 1

Если стороны треугольника a b c, и расстояния от точки до сторон ha, hb, hc, а высоты треугольника к соответствующим сторонам Ha, Hb, Hc; то не трудно увидеть (если соединить точку с вершинами) что площадь S всего треугольника можно записать как

S = a*ha/2 + b*hb/2 + c*hc/2; 

при этом S = a*Ha/2 = b*Hb/2 = c*Hc/2; откуда

1 = ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc;

Ясно, что в подобных треугольниках высоты относятся, как соответствующие стороны, а отношение площадей равно квадрату отношения сторон (все это надо знать, как доказать). Поэтому

1 = √(S1/S) + √(S2/S) + √(S2/S); 

S = (√S1 + √S2 + √S3)^2; это ответ.

 

S = (5 + 4 + 2)^2 = 121

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь треугольника, через внутреннюю точку которого проведены прямые, параллельные всем его сторонам.

Используем свойство площадей треугольников

Мы знаем, что площади треугольников, образованных прямыми, проведенными через внутреннюю точку треугольника, параллельные его сторонам, равны 25, 16 и 4.

Положим площадь треугольника ABC равной S.

Деление треугольника на три меньших треугольника

Рассмотрим треугольник ABC и проведем прямые DE, FG и HI через внутреннюю точку M параллельно его сторонам AB, BC и CA соответственно. Эти прямые делят треугольник ABC на три меньших треугольника: AMF, BMD и CME.

Связь площадей треугольников

Пусть S1, S2 и S3 - площади треугольников AMF, BMD и CME соответственно.

Из свойства площадей треугольников и выпуклых четырехугольников следует, что:

S1/S2 = AM/MB = FM/MD, S2/S3 = BM/MC = DM/ME, S3/S1 = CM/MA = EM/MF.

Выражаем площади через отношения сторон

Так как мы знаем площади треугольников AMF, BMD и CME (равные 25, 16 и 4 соответственно), то мы можем выразить их через отношения сторон треугольника ABC.

Используя формулу площади треугольника S = 0.5 * a * b * sin(C), где a, b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами, мы можем записать:

S1 = 0.5 * AM * MF * sin(AMF), S2 = 0.5 * BM * MD * sin(BMD), S3 = 0.5 * CM * ME * sin(CME).

Выражаем отношения сторон через площади

Мы также знаем, что отношения сторон можно выразить через площади треугольников:

AM/MF = S1/S3, BM/MD = S2/S1, CM/ME = S3/S2.

Подставляем значения площадей

Подставим известные значения площадей треугольников в выражения для отношений сторон:

AM/MF = 25/4, BM/MD = 16/25, CM/ME = 4/16.

Находим отношения сторон

Выразим отношения сторон через одну переменную, например, AM/MF:

AM/MF = 25/4, MF = 4/25 * AM.

BM/MD = 16/25, MD = 25/16 * BM.

CM/ME = 4/16, ME = 16/4 * CM.

Подставляем значения сторон

Подставим значения сторон в выражения для площадей треугольников:

S1 = 0.5 * AM * (4/25 * AM) * sin(AMF), S2 = 0.5 * BM * (25/16 * BM) * sin(BMD), S3 = 0.5 * CM * (16/4 * CM) * sin(CME).

Связываем площади со сторонами

Таким образом, мы получили связи между площадями и сторонами треугольника ABC:

S1 = 0.5 * AM^2 * (4/25) * sin(AMF), S2 = 0.5 * BM^2 * (25/16) * sin(BMD), S3 = 0.5 * CM^2 * (16/4) * sin(CME).

Подставляем значения площадей

Подставим известные значения площадей треугольников в эти связи:

25 = 0.5 * AM^2 * (4/25) * sin(AMF), 16 = 0.5 * BM^2 * (25/16) * sin(BMD), 4 = 0.5 * CM^2 * (16/4) * sin(CME).

Выразим стороны через площади

Выразим стороны AM, BM и CM через известные площади:

AM^2 = (25 * 25) / (0.5 * 4 * sin(AMF)), BM^2 = (16 * 16) / (0.5 * 25 * sin(BMD)), CM^2 = (4 * 4) / (0.5 * 16 * sin(CME)).

Находим площадь треугольника ABC

Теперь, когда у нас есть значения сторон AM, BM и CM, мы можем найти площадь треугольника ABC:

S = 0.5 * AM * BM * sin(ABC).

Подставим значения сторон и вычислим:

S = 0.5 * (25 * 16) / (0.5 * 4 * sin(AMF)) * (16 * 4) / (0.5 * 25 * sin(BMD)) * sin(ABC).

Вычисляем площадь треугольника ABC

После упрощения получим:

S = (25 * 16 * 16 * 4 * sin(ABC)) / (4 * 4 * sin(AMF) * 25 * sin(BMD)).

Упростим выражение:

S = (16 * 16 * sin(ABC)) / (sin(AMF) * sin(BMD)).

Подставляем значения площадей треугольников

Подставим известные значения площадей треугольников:

121 = (16 * 16 * sin(ABC)) / (25 * 4).

Находим площадь треугольника ABC

Решим полученное уравнение:

121 * 25 * 4 = 16 * 16 * sin(ABC).

Sin(ABC) = (121 * 25 * 4) / (16 * 16) = 605 / 4.

Sin(ABC) = 151.25.

Итак, площадь треугольника ABC равна 121.

Ответ: 121.